જો $A = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$ અને $B = A^{20}$ તો શ્રેણિક $B$ ના પહેલા સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો મેળવો?
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$ અને $B = A^{20}$ તો શ્રેણિક $B$ ના પહેલા સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો મેળવો?
JEE MAIN 2018, Difficult
Download our app for free and get started
Here $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$
$\therefore {A^2} = A.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$
$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
2&1&0\\
3&2&1
\end{array}} \right]$
also ${A^3} = {A^2}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
2&1&0\\
3&2&1
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$
$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
3&1&0\\
6&3&1
\end{array}} \right]$
and, ${A^4} = {A^3}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
3&1&0\\
6&3&1
\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]$
$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
4&1&0\\
{10}&4&1
\end{array}} \right]$
On observing the pattern, we come to a conclusion that,
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
n&1&0\\
{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}&n&1
\end{array}} \right]$
${A^{20}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
{20}&1&0\\
{210}&{20}&1
\end{array}} \right]$
Therefore, sum of first column of
${A^{20}} = \left[ {1 + 20 + 210} \right]$
$ = 231$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ - 1}\\3&0&{\,\,2}\\4&5&{\,\,0}\end{array}} \right]$, $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\0&1&3\end{array}} \right],$તો $AB$ = . ..View Solution
- 2જો$ |A|$ એ શ્રેણિક $A$ કે જેની કક્ષા $ 3 $ હોય તેનો નિશ્રાયક દર્શાવે છે , તો$ |-2A|=$View Solution
- 3જો $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય અને $|A|=2$ હોય, તો $\left|3 \operatorname{adj}\left(|3 A| A^2\right)\right|=..........$View Solution
- 4જો $\omega $ એકનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય , તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{b{\omega ^2}}&{a\omega }\\{b\omega }&c&{b{\omega ^2}}\\{c{\omega ^2}}&{a\omega }&c\end{array}\,} \right|$ મેળવો.View Solution
- 5શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&5&7\\2&{ - 3}&1\\1&1&2\end{array}} \right]$ નો વ્યસ્ત મેળવો.View Solution
- 6ધારોકે $A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0\end{array}\right]$,જ્યાં $a, c, \in R$ છે. જો $A^3=A$ અને $a$ ની ધન કિમત, અંતરાલ $(n-1, n]$ માં હોય, જ્યાં $n \in N$, તો $n=...........$.View Solution
- 7જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}View Solution
1&1\\
1&1
\end{array}} \right]$ અને $\det ({A^n} - I) = 1 - {\lambda ^n}\,,\,n \in N$ તો $\lambda $ મેળવો. - 8ધારોકે $D _{ k }=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 k & 2 k -1 \\ n & n ^2+ n +2 & n ^2 \\ n & n ^2+ n & n ^2+ n +2\end{array}\right|$.જો $\sum \limits_{ k =1}^n$ $D _{ k }=96$ હોય,તો $n=..........$View Solution
- 9જો શ્રેણિક $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}View Solution
{\sin \theta }&{\cos ec\theta }&1\\
{\cos ec\theta }&1&{\sin \theta }\\
1&{\sin \theta }&{\cos ec\theta }
\end{array}} \right]$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક હોય તો $'\theta'$ ની શક્ય કિમંત મેળવો. $($ કે જ્યાં $n \in I)$ - 10જો $\text{A, B, C}$ એ ત્રિકોણના ખૂણા હોય તો નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \,2A}&{\sin \,C}&{\sin \,B} \\View Solution
{\sin \,C}&{\sin \,2B}&{\sin A} \\ {\sin \,B}&{\sin \,A}&{\sin \,2C} \end{array}} \right|$ ની કિમંત મેળવો.