જો f(x) = _ - 1 ^x |t| ,dt, x - 1, તો - Vidyadip

MCQ

જો $f(x) = \int_{ - 1}^x {|t|\,dt,} x \ge - 1,$ તો

✓
બંને $f$ અને $f'$ એ $x + 1 > 0$ માટે સતત છે
B
$x + 1 > 0$ માટે $f$ એ સતત છે પરંતુ $f'$ સતત નથી.
C
બંને $f$ અને $f'$ એ $x = 0$ માટે સતત નથી.
D
$x = 0$ માટે $f$ સતત છે પરંતુ $f'$ સતત નથી.

✓

Answer

Correct option: A.

બંને $f$ અને $f'$ એ $x + 1 > 0$ માટે સતત છે

Let us divide the interval into two sub$-$intervals ${I_1}$, $ - 1 \le x < 0$
so that $x$ is $-ve$ and ${I_2},x \ge 0$
so that $x$ is $+ve.$
For ${I_1},f(x) = \int_{ - 1}^x {( - t)dt = - \frac{1}{2}({x^2} - 1)}.....(i)$
For ${I_2},f(x) = \int_{ - 1}^x {( - t)dt + \int_{ 0 }^x {( t)dt }}$
$ = - \frac{1}{2}[{t^2}]_{ - 1}^0 + \frac{1}{2}[{t^2}]_0^x = \frac{1}{2}(1 + {x^2}).....(ii)$
Hence the function can be defined as the following
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2}({x^2} - 1),{\rm{If}} - 1 \le x < 0\\\frac{1}{2}({x^2} + 1),{\rm{if}}\,\,x \ge 0\end{array} \right.$ ,
$f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x{\rm{if}} - 1 < x < 0\\\,\,0{\rm{if}}\,\,x = 0\\\,\,x,\,{\rm{if}}\,\,x > 0\end{array} \right.$
For $fL = R = V = \frac{1}{2}$ at $x = 0$,
so $f$ is continuous at $x = 0$.
For $f'L = R = V = 0$ at $x = 0$,
so $f'$ is also continuous at $x = 0$.
Thus both $f$ and $f'$ are continuous at $x = 0$ and
hence both are continuous for $x > - 1$
$i.e.,$ $x + 1 > 0$..

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$\int\limits_0^x {\left( {t + 1} \right)dt} $ ના મહડમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત $\left[ {2,3} \right]$ પર $......$ છે.

જો $y = {2^{1/{{\log }_x}4}}$, તો $x = . . . . .$

સમીકરણોની સંહતિ $7 x+6 y-2 z=0$ ; $3 x+4 y+2 z=0$ ; ${x}-2{y}-6{z}=0,$ ને.. . . . .

ગણ A = {1, 2, 3} લો. (1, 2) ને સમાવતા સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા ________ છે.

અહી $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ એ સુરેખ વિધેય છે અને $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x>0\end{array}\right.$, એ $x=0$ આગળ સતત છે જો $f^{\prime}(1)=f(-1)$ હોય તો $g(3)$ ની કિમંત મેળવો.

એક સમતોલ પાસાને ત્રણ વખત ઉછાળવાના યાદ્ચ્છિક પ્રયોગમાં બધા જ પાસા ૫૨ સમાન અંક ન મળે તેની સંભાવના $..........$ છે.

$\left[ {\frac{\pi }{6},\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\,\,$ અતરલમાં વિધેય ${f}{\text{(x) = logsinx }}$ માટે લાંગ્રાજના પ્રમેયના $c$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય $?$

બિંદુ ${\text{(1, 6, 3)}}$ નું રેખા $\frac{x}{1}\,\, = \,\,\frac{{y\,\, - \,\,1}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\, - \,\,2}}{3}\,\,$ માં પ્રતિબિંબ શોધો .

$\frac{d}{{dx}}{3^{{{\log }_3}\sqrt x }} = .............$

જો સુરેખ રેખાઓની સહંતિ $x-2 y+z=-4 $ ; $2 x+\alpha y+3 z=5 $ ; $3 x-y+\beta z=3$ ને અનંત ઉકેલ હોય તો $12 \alpha+13 \beta$ ની કિમંત મેળવો.