જો u = ( x^2 + y^2 ), તો ^2 u x^2 + ^2 u y^2 = - Vidyadip

MCQ

જો $u = \log ({x^2} + {y^2}),$ તો ${{{\partial ^2}u} \over {\partial {x^2}}} + {{{\partial ^2}u} \over {\partial {y^2}}} = $

A
${1 \over {{x^2} + {y^2}}}$
✓
$0$
C
${{{x^2} - {y^2}} \over {{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$
D
${{{y^2} - {x^2}} \over {{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$

✓

Answer

Correct option: B.

$0$

b
(b) $u = \log ({x^2} + {y^2})\,$

$\therefore \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}.2x$

$\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{({x^2} + {y^2}).2 - 2x.2x}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$$ = \frac{{2({y^2} - {x^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$’

$\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}.2y$

$\therefore \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = \frac{{({x^2} + {y^2})\,.\,2 - 2y.2y}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2({x^2} - {y^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$

$\therefore $ $\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 5. continuity and differentiation→5. continuity and differentiation — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$f(x)$ = ${\cos ^{ - 1}}\left( {2{x^2} - 1} \right)$ એ $x = a$ આગળ વિકલનીય ન હોય તો $a$ મેળવો.

$f\left( x \right) = 1 + x + \int\limits_1^x {\left[ {{{\left( {\log t} \right)}^2} + 2\log t} \right]dt} $ નું નિર્ણાયક બિંદુ $ = .........$

વિકલ સમીકરણ $x \frac{d y}{d x}+2 y=x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (I.F.) = ________છે . (x ≠ 0)

1000 બૅક્ટેરિયાની વસ્તી $P ( t )$ ના વધવાનું સમીકરણ $P ( t )=1000+\frac{1000 t }{100+ t ^2}$ છે, તો આ બૅક્ટેરિયલ વસ્તીનું મહત્તમ કદ............થાય.

$\int_0^{\pi /4} {} \sec x\log (\sec x + \tan x)\,dx = $

જો $\int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} \,dx = k\pi ,} $ તો $k = $

વિધેય $f(x) = \frac{{2x - {{\sin }^{ - 1}}x}}{{2x + {{\tan }^{ - 1}}x}},\;(x \ne 0)$ એ પ્રદેશ પરના દરેક બિંદુએ સતત હોય તો $f(0)$ મેળવો.

જો $a,b,c>0$ અને $x,y,z \in R,$ તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{a^x} + {a^{ - x}}}\right)}^2}}&{{{\left( {{a^x} - {a^{ - x}}}\right)}^2}}&1\\{{{\left( {{b^y} + {b^{ - y}}} \right)}^2}}&{{{\left( {{b^y} -{b^{ - y}}} \right)}^2}}&1\\{{{\left( {{c^z} + {c^{ - z}}}\right)}^2}}&{{{\left( {{c^z} - {c^{ - z}}} \right)}^2}}&1\end{array}} \right| = .......$

ધારો કે $S =\{\sqrt{ n }: 1 \leq n \leq 50$ અને $n$ અયુંગ્મ છે. $\}$

ધારો કે $a \in S$ અને $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ - a & 0 & 1\end{array}\right]$ છે.

જો $\sum_{ a \in S } \operatorname{det}(\operatorname{adj} A )=100 \lambda$ હોય, તો $\lambda$ .........

ધારો કે $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_1 \hat{i}+\mathrm{a}_2 \hat{j}+\mathrm{a}_3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{b}_1 \hat{i}+\mathrm{b}_2 \hat{j}+\mathrm{b}_3 \hat{k}$ એવા બે સદિશો છે કે જેથી $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=2$ તથા $|\vec{b}|=4$ થાય. જો $\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ હોય, તો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો ..............થાય.