જો z = 3 + i 2 , તો z^ 69 = . . . . - Vidyadip

MCQ

જો $z = \frac{{\sqrt 3 + i}}{2}$, તો ${z^{69}}$ = . . . .

✓
$ - i$
B
$i$
C
$1$
D
$ - 1$

✓

Answer

Correct option: A.

$ - i$

a
(a)Given that $z = \frac{{\sqrt 3 + i}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$
$ \Rightarrow \,\,\,iz = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \omega $
Now${z^{69}} = {z^{4(17)}}z = {(iz)^{4(17)}}z = {(\omega )^{68}}z,\,\,\,\,({i^{4n}} = 1)$
$ = \frac{{{\omega ^{69}}}}{i} = \frac{{{{({\omega ^3})}^{23}}}}{i} = \frac{1}{i} = - i$
Aliter : $z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$
==> ${z^{69}} = {\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)^{69}} = \cos \frac{{69\pi }}{6} + i\sin \frac{{69\pi }}{6}$
$ = \cos \left( {11\pi + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {11\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = 0 + i( - 1) = - i$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 4.1 complex nubers→4.1 complex nubers — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો ચતુર્ઘાત સમીક૨ણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \ \ (a,b,c,d\in R)$ નું કોઈ૫ણ બીજ વાસ્તવિક સંખ્યા ન હોય તથા બે બીજનો સ૨વાળો $3+4i$ હોય અને બાકીનાં બે બીજનો ગુણાકા૨ $1 3 + i$ હોય , તો $b = .......$

ધારો કે $G_1$ અને $G_2$ એ અનુક્રમે બે શ્રેણીઓ $x_1, x_2, ……, x_n $ અને $y_1, y_2….. y_n$ ના સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય તો જો $G$ એ શ્રેણી $\frac{x_i}{y_i}$ કે જ્યાં $i = 1, 2, ……., n$, નો સમગુણોત્તર મધ્યક $G$ બરાબર શું થાય છે ?

જો $\frac{{{{\sin }^3}\,\theta \,\, - \,\,{{\cos }^3}\,\theta }}{{\sin \,\theta \,\, - \,\,\cos \,\theta }} - \frac{{\cos \,\theta }}{{\sqrt {1\,\, + \,\,{{\cot }^2}\,\theta } }} - 2 \,tan \,\theta \,cot\, \theta = - 1$ હોય તો

ધારોકે $PQ$ એ પરવલય $y^2=36 x$ ની લંબાઈ $100$ વાળી નાભિજીવા છે, જે ધન $x$-અક્ષ સાથે લધુકોણ બનાવે છે. ધારોકે $P$ ની કોટિ $(Ordinate)$ ધન છે અને $M$ એ રેખાખંડ $PQ$ પરનું એવું બિંદુુ છે કે જેથી $PM:MQ = 3:1$ તો નીચેના પૈકી કયા બિંદુુ,$M$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $PQ$ ને લંબ હોય તેવી રેખા પર આવેલ નથી ?

જો $\alpha=\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\tan ^{3} x-\tan x}{\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}$ અને $\beta=\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\operatorname{cotx}}$ એ સમીકરણ $a x^{2}+b x-4=0$ ના બીજ હોય તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ મેળવો.

ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0 $ ની ઉત્કેન્દ્રતા ....

સુરેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ ઉગમબિંદૂથી પસાર થાય છે અને રેખા $L:9 x+5 y=45$ ના અક્ષો વચ્યેના રેખાખંડન વિભાગે છે. જો $m _1$ અને $m _2$ એ રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ ના ઢાળ હોય, તો રેખા $y =\left( m _1+ m _2\right) x$ નું $L$ સાથેનું છેદબિંદુ $.......$ પર આવેલ છે.

$^{10}{C_1}{ + ^{10}}{C_3}{ + ^{10}}{C_5}{ + ^{10}}{C_7}{ + ^{10}}{C_9} = $

જો $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z}$ અને $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો $x, y$ અને $z$ એ.....

$\frac{1}{{\sqrt {4x\, + \,1} }}\,\,\left[ {{{\left[ {\frac{{1\, + \,\sqrt {4x\, + \,1} }}{2}} \right]}^7}\,\, - \,\,{{\left[ {\frac{{1\, - \,\sqrt {4x\, + \,1} }}{2}} \right]}^7}} \right]$ એ ........ ઘાતની બહુપદી છે