क्षेत्र $y^2 \geq 6x$ और वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 16$ में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
Miscellaneous Exercise-18
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वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 16$ तथा परवलय $y^{2 }= 6x$ मिलते है, जहाँ
$x^{2 }+ 6x = 16$
$(y$ का विलोपन करने पर$)$
$\Rightarrow x^2 + 6x - 16 = 0$
$\Rightarrow (x + 8)(x - 2) = 0$
$\Rightarrow x = -8, 2$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-2 \times ($छायांकित भाग का क्षेत्रफल$)$
$=\pi(4)^{2}-2\left[\int_{0}^{2} \sqrt{6 x}\right.\left.+\int_{2}^{4} \sqrt{16-x^{2}} d x\right]$
$=16 \pi-2 \sqrt{6}\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{2}-2\left[\frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}}+\frac{16}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{4}\right]_{2}^{4}$
$=16 \pi-\frac{4 \sqrt{6}}{3}\left(2^{3 / 2}-0\right)-2\left[0+8 \sin ^{-1}(1)-\sqrt{16-4}-8 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=16 \pi-\frac{4 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{2}}{3}-2\left[8 \times \frac{\pi}{2}-\sqrt{12}-8 \times \frac{\pi}{6}\right]$
$=16 \pi-\frac{16 \sqrt{3}}{3}-\frac{16 \pi}{3}+4 \sqrt{3} =\frac{32 \pi}{3}-\frac{4 \sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}(8 \pi-\sqrt{3})$ वर्ग इकाई
$x^{2 }+ 6x = 16$
$(y$ का विलोपन करने पर$)$
$\Rightarrow x^2 + 6x - 16 = 0$
$\Rightarrow (x + 8)(x - 2) = 0$
$\Rightarrow x = -8, 2$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-2 \times ($छायांकित भाग का क्षेत्रफल$)$
$=\pi(4)^{2}-2\left[\int_{0}^{2} \sqrt{6 x}\right.\left.+\int_{2}^{4} \sqrt{16-x^{2}} d x\right]$
$=16 \pi-2 \sqrt{6}\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_{0}^{2}-2\left[\frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}}+\frac{16}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{4}\right]_{2}^{4}$
$=16 \pi-\frac{4 \sqrt{6}}{3}\left(2^{3 / 2}-0\right)-2\left[0+8 \sin ^{-1}(1)-\sqrt{16-4}-8 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right]$
$=16 \pi-\frac{4 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{2}}{3}-2\left[8 \times \frac{\pi}{2}-\sqrt{12}-8 \times \frac{\pi}{6}\right]$
$=16 \pi-\frac{16 \sqrt{3}}{3}-\frac{16 \pi}{3}+4 \sqrt{3} =\frac{32 \pi}{3}-\frac{4 \sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}(8 \pi-\sqrt{3})$ वर्ग इकाई
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