_ n 2^k + 4^k + 6^k + ... + ( 2n ) ^k n^ k + 1 ,k - 1, = ........… - Vidyadip

MCQ

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^k} + {4^k} + {6^k} + ... + {{\left( {2n} \right)}^k}}}{{{n^{k + 1}}}},k \ne - 1, =\ .........$

A
$\frac{1}{{k + 1}}$
✓
$\frac{{{2^k}}}{{k + 1}}$
C
${2^k}$
D
એક પણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: B.

$\frac{{{2^k}}}{{k + 1}}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} 2^k \frac{1^k+2^k+ ... +n^k}{k+1}$
$= 2^k \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{r=1}^n \frac{1}{n} \left(\frac{r}{n}\right)^k$
$= 2^k \left[\int_{0}^{1}x^kdx \right]$
$= 2^k \left[\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]^1_0 $
$= \frac{2^k}{k+1}[1-0]$
$= \frac{2^k}{k+1}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$\operatorname{cosec}\left[2 \cot ^{-1}(5)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right]$ $=$..... .

જો $R$ એ $n$ સભ્ય ધરાવતા ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ હોય તો $R$ માં રહેલી કુલ ક્રમયુકત જોડની સંખ્યા . .. . . થાય.

વ્રક $y = x\sin x$ અને $x - $ અક્ષ તથા $x = 0$ અને $x = 2\pi ,$ વચ્ચેના આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

$\int_{}^{} {\sin \sqrt x } \;dx = $

બિંદુ $P(4,6,-2)$ નું બિંદુ $(-3,2,3)$ માંથી પસાર થતી તથા દિકગુણોત્તર $3,3,-1$ વાળી રેખાને સમાંતર હોય તેવી રેખાથી અંતર $...........$ છે.

$\frac{{\left[ {\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \left( {\vec b \times \vec c} \right)\left( {\vec b \times \vec c} \right) \times \left( {\vec c \times \vec a} \right)\left( {\vec c \times \vec a} \right) \times \left( {\vec a \times \vec b} \right)} \right]}}{{\left[ {\vec a \times \vec b\,\,\,\,\vec b \times \vec c\,\,\,\,\vec c \times \vec a} \right]}}$ =

જો $f:R \to R$ અને $g:R \to R$ માટે $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = {x^2} + 7$ હોય તો $x$ ની . . . . કિમત માટે $g(f(x)) = 8$ થાય.

ધારોકે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{5}{x\left(x^5+1\right)} y=\frac{\left(x^5+1\right)^2}{x^7}, x > 0$ નો ઉકેલ છે.જો $y(1)=2$ હોય, તો $y(2)=.........$

$PQ$ એ વર્તુળ $x ^{2}+ y ^{2}=9$ નો વ્યાસ છે જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે બિંદુ $P$ અને $Q$ થી રેખા $x+y=2$ સુધીનું લંબ અંતર હોય તો $\alpha \beta$ ની મહત્તમ કિમત મેળવો

જો $f : X \rightarrow Y$ વિધેય છે કે જેથી $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} $ થાય તો $X$ અને $Y$ ના ........... ગણ માટે વિધેય $f(x)$ એ એક-એક અને વ્યાપત થાય.