Question
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\left[ {\frac{{{r^p}}}{{{n^{p + 1}}}}} \right]} $
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^n {{{\left( {\frac{r}{n}} \right)}^p}} = \int_0^1 {{x^p}dx} = \left[ {\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}} \right]_0^1 = \frac{1}{{p + 1}}$.
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$M =\left\{( x , y ) \in R \times R : x ^2+ y ^2 \leq r ^2\right\},$
जहाँ $r >0$ है। गुणोत्तर श्रेढ़ी (geometric progression) $a _{ n }=\frac{1}{2^{ n -1}}, n =1,2,3, \ldots$. पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि $S _0=0$ और $n \geq 1$ के लिए, मान लीजिए कि $S _{ n }$ इस श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों के योगफल को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $n \geq 1$ के लिए, $C _{ n }$ उस वृत्त को निरूपित करता हैं जिसका केन्द्र $\left( S _{ n -1}, 0\right)$ पर स्थित है और त्रिज्या (radius) $a_n$ है, और $D _n$ उस वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र $\left( S _{n-1}, S _{n-1}\right)$ पर स्थित है और त्रिज्या $a _n$ है।
($1$) उस $M$ पर विचार कीजिए जिसके लिए $r =\frac{1025}{513}$ है। मान लीजिए कि $k$ उन सभी वृत्तों $C _{ n }$ की संख्या है जो $M$ के अन्दर विद्यमान है। मान लीजिए कि $l$, इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभावित संख्या (maximum possible number) हैं, जिनमें से कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नही करते है। तब -
$(A)$ $k +2 l=22$ $(B)$ $2 k +l=26$ $(C)$ $2 k +3 l=34$ $(D)$ $3 k +2 l=40$
($2$) उस $M$ पर विचार कीजिए, जिसके लिए $r =\frac{\left(2^{199}-1\right) \sqrt{2}}{2^{198}}$. है। उन सभी वृत्तों $D _{ n }$ की संख्या, जो $M$ के अन्दर विद्यमान है, हैं ?
$(A) 198$ $(B) 199$ $(C) 200$ $(D) 201$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)