_ n 1 n^2 + 2 n^2 + 3 n^2 + ...... + n n^2 है - Vidyadip

Question

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^2}}} + ...... + \frac{n}{{{n^2}}}} \right\}$ है

✓

Answer

a
(a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^2}}} + ....... + \frac{n}{{{n^2}}}} \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,\left( {\frac{{1 + 2 + 3 + ...... + n}}{{{n^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\frac{{\frac{n}{2}(n + 1)}}{{{n^2}}}$

$ = \frac{1}{2}\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{2}\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\,1 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{2}$

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$\int_0^{\pi /2} {{e^x}\sin x\,dx = } $

यदि $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x - 1,\,\,\, x < 0\\\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4},\,\, x = 0\\\,\,\,\,\,{x^2},\,\, x > 0\end{array} \right.$, तो

यदि $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ एवं $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$ हैं, तो $f(4)-g(4)$ का मान __________ है।

सीमा $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{4 \sqrt{2}(\sin 3 x+\sin x)}{\left(2 \sin 2 x \sin \frac{3 x}{2}+\cos \frac{5 x}{2}\right)-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos 2 x+\cos \frac{3 x}{2}\right)}$ का मान होगा

यदि $y = \frac{{{a^{{{\cos }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {a^{{{\cos }^{ - 1}}x}}}}$, $z = {a^{{{\cos }^{ - 1}}x}}$, तो $\frac{{dy}}{{dz}} = $

यदि $x = 2 + {2^{2/3}} + {2^{1/3}},$तब ${x^3} - 6{x^2} + 6x = $

यदि $f(x)=\frac{4 x+3}{6 x-4}, x \neq \frac{2}{3}$ तथा $(f \circ f)(x)=g(x)$, हैं, जहाँ $\mathrm{g}: \mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\frac{2}{3}\right\}$ है, तो (gogog) ($4$) बराबर है।

बिंदु $P (-1,1)$ से वत्त $x ^{2}+ y ^{2}-2 x -6 y +6=0$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। यदि ये स्पर्श रेखाएँ वत्त को बिंदुओं $A$ तथा $B$ पर स्पर्श करती हैं तथा वत्त पर $D$ एक बिंदु है जिसके लिए रेखाखंडों $AB$ तथा $AD$ की लम्बाइयाँ बराबर हैं, तो त्रिभुज $ABD$ का क्षेत्रफल बराबर है

यदि $x$ व $y$ में निम्न युगपत समीकरण दिये गये हैं

$x + y = a$.....(i)

$x \times y = b$.....(ii)

$x\,.\,a = 1$.....(iii)

तो $x = .........,\,\,\,y = .......$

माना फलन $f: R \rightarrow R , f( x )= x ^3- x ^2+( x -1) \sin x$ पद ग द्वारा परिभाषित है तथा माना $g : R \rightarrow R$ स्वेच्छ फलन है। माना $f g: R \rightarrow R$ गुणन फलन है जो $(f g)(x)=f(x) g(x)$ द्वारा परिभाषित है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे ?

$(A)$ यदि $g , x =1$ पर संतत् हो, तो $fg , x =1$ पर अवकलनीय होगा।

$(B)$ यदि $fg , x =1$ पर अवकलनीय हो, तो $g , x =1$ पर संतत् होगा।

$(C)$ यदि $g , x =1$ पर अवकलनीय हो, तो $fg , x =1$ पर अवकलनीय होगा।

$(D)$ यदि $fg , x =1$ पर अवकलनीय हो, तो $g , x =1$ पर अवकलनीय होगा।