परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
Exercise-7.5-3
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माना$ \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)} +\frac{C}{(x-3)}$
$\Rightarrow \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} =\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$\Rightarrow 3x - 1 = A(x^{2 }- 5x + 6) + B(x^2 - 4x + 3) + C(x^2 - 3x + 2)$
$\Rightarrow 3x - 1 = x^2 (A + B + C) + x(- 5A - 4B - 3C) + (6A + 3B + 2C)$
दोनों ओर $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B + C = 0 ...(i)$
$- 5A - 4B - 3C = 3 ...(ii)$
और $6A + 3B + 2C = -1 ...(iii)$
समी $(i)$ से, $A = -(B + C)$
समी $(ii)$ और $(iii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$-5{-(B + C)} -4B - 3C = 3 $
$\Rightarrow 5B + 5C - 4B - 3C = 3$
$\Rightarrow B + 2C = 3 ...(iv)$
और$ 6{-(B + C)} + 3B + 2C = -1 $
$\Rightarrow -6B - 6C + 3B + 2C = -1$
$\Rightarrow -3B - 4C = -1 ...(v)$
समी $(iv)$ और $(v)$ को हल करने पर $\Rightarrow C = 4$
$C$ का मान समी $(iv)$ में रखने पर, $B + 2 \times 4 = 3 \Rightarrow B = - 5$
$B$ और $C$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,$ A + (-5) + 4 = 0 \Rightarrow A = 1$
$\therefore A = 1, B = -5, C = 4$
अब, $\int \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} d x =\int\left[\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-3)}\right] d x$
$=\int \frac{1}{(x-1)} d x +\int \frac{(-5)}{(x-2)} d x +\int \frac{4}{(x-3)} d x$
$= \log |x − 1| − 5 \log |x − 2| + 4 \log |x − 3| + C (\because \frac{1}{x}dx = \log x)$
$\Rightarrow \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} =\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$\Rightarrow 3x - 1 = A(x^{2 }- 5x + 6) + B(x^2 - 4x + 3) + C(x^2 - 3x + 2)$
$\Rightarrow 3x - 1 = x^2 (A + B + C) + x(- 5A - 4B - 3C) + (6A + 3B + 2C)$
दोनों ओर $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B + C = 0 ...(i)$
$- 5A - 4B - 3C = 3 ...(ii)$
और $6A + 3B + 2C = -1 ...(iii)$
समी $(i)$ से, $A = -(B + C)$
समी $(ii)$ और $(iii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$-5{-(B + C)} -4B - 3C = 3 $
$\Rightarrow 5B + 5C - 4B - 3C = 3$
$\Rightarrow B + 2C = 3 ...(iv)$
और$ 6{-(B + C)} + 3B + 2C = -1 $
$\Rightarrow -6B - 6C + 3B + 2C = -1$
$\Rightarrow -3B - 4C = -1 ...(v)$
समी $(iv)$ और $(v)$ को हल करने पर $\Rightarrow C = 4$
$C$ का मान समी $(iv)$ में रखने पर, $B + 2 \times 4 = 3 \Rightarrow B = - 5$
$B$ और $C$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,$ A + (-5) + 4 = 0 \Rightarrow A = 1$
$\therefore A = 1, B = -5, C = 4$
अब, $\int \frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} d x =\int\left[\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-3)}\right] d x$
$=\int \frac{1}{(x-1)} d x +\int \frac{(-5)}{(x-2)} d x +\int \frac{4}{(x-3)} d x$
$= \log |x − 1| − 5 \log |x − 2| + 4 \log |x − 3| + C (\because \frac{1}{x}dx = \log x)$
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