સદિશ x,y અને x માટે |x|=|y|=|x|=2 અને આ સદિશોની દરેક જોડ વચ્ચેના … - Vidyadip

MCQ

સદિશ $ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ અને $\overrightarrow{x}$ માટે $|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|=\sqrt{2}$ અને આ સદિશોની દરેક જોડ વચ્ચેના ખૂણાનું મા૫ $\frac{\pi}{3}$ છે. જો શૂન્યેત૨ સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{x}$ અને $\overrightarrow{y}\times\overrightarrow{x}$ ને લંબ હોય તથા $\overrightarrow{b}$ એ $\overrightarrow{y}$ અને $\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{x}$ ને લંબ હોય તો $......... .$

A
$\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{z})(\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x})$
B
$\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{y})(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})$
C
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{y})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{z})$
✓
$\overrightarrow{a}=-(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{y})(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y})$

✓

Answer

Correct option: D.

$\overrightarrow{a}=-(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{y})(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y})$

$\overrightarrow{b}$ એ $\overrightarrow{y}$ અને $\overrightarrow{z}\times\overrightarrow{x}$ ને લંબ છે.
$\therefore\overrightarrow{b}=n\left\{\overrightarrow{y}\times(\overrightarrow{z}\times\overrightarrow{x})\right\}=n\left\{(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{x})\overrightarrow{z}-(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z})\overrightarrow{x}\right\}=n(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x})$
હવે,$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z}=n(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})\cdot\overrightarrow{z}=n(|\overrightarrow{z}|^2-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=n(2-1)=n$
$\therefore\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z})(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x})$
$\therefore$ વિકલ્પ $(A)$ સત્ય છે.
$\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}\|\overrightarrow{y}|\cos(\overrightarrow{x},^\wedge\overrightarrow{y})=(\sqrt{2})(\sqrt{2})\cos\frac{\pi}{3}=2\left(\frac{1}{2}\right)=1$
તે જ પ્રમાણે $\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}=1$
$\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{x}$ અને $\overrightarrow{y}\times\overrightarrow{z}$ ને લંબ છે.
$\therefore\overrightarrow{a}\ \ \ =m\left\{\overrightarrow{x}\times(\overrightarrow{y}\times\overrightarrow{z})\right\}=m\left\{(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})\overrightarrow{y}-(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})\overrightarrow{z}\right\}=m(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})$
હવે,$\therefore\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y}=m(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})\cdot\overrightarrow{y}=m(|\overrightarrow{y}|^2-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y})=m(2-1)=m$
$\therefore\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y})(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z})$
$\therefore$ વિકલ્પ $(B)$ સત્ય છે.
હવે,$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y})(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z}))\cdot((\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z})(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}))$
$=(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{y})(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{z})((\overrightarrow{y}.\overrightarrow{z}).(\overrightarrow{z}.\overrightarrow{x}))$
$=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y})(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z})(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{x}-|\overrightarrow{z}|^2+\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})$
$=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y})(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z})(1-1-2+1)$
$=-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{y})(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{z})$
$\therefore$ વિકલ્પ $(C)$ સત્ય છે.
$(B)$ સત્ય હોવાથી $(D)$ પણ સત્ય છે.
આમ,$(A),(B),(C)$ અને $(D)$સત્ય છે.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સદિશ બીજગણિત→સદિશ બીજગણિત — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $A$ એ $A^2=A$ થાય તવો ચોરસ શ્રેણિક $A$ હોય તો $(I+A)^3-7 A=.......$

જો $\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})$ એ વિકલ સમીકરણ$\quad\left(y^{2}-x\right) \frac{d y}{d x}=1$ નો ઉકેલ છે કે જે $\mathrm{y}(0)=1 $ નું પાલન કરે છે તો વક્ર $\mathrm{x}$ -અક્ષને જે બિંદુમાં છેદે તેનો $x$ યામ મેળવો.

નીચે આપેલ માપ પૈકી ______________ માપ સદિશ છે.

આપેલ વિધેયને ધ્યાનમાં લો:

$f\left( x \right) = \left[ x \right] + \left| {1 - x} \right|,\, - 1 \le x \le 3$ કે જ્યાં $[x]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે .

વિધેય $1$ :$f$ એ $x = 0, 1, 2$ અને $3$ આગળ સતત નથી.

Statement $2$ :$f\left( x \right) = \left( \begin{array}{l}
- x,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \le x < 0\\
1 - x,\,\,\,\,\,\,\,0 \le x < 1\\
1 + x,\,\,\,\,\,\,\,1 \le x < 2\,\\
2 + x,\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3
\end{array} \right.$

$f(x)=\frac{sin\ (cos \ x)-cos \ x}{(\pi-2x)^2}, x$

$\frac{\pi}{2} \ \ f$ એ $x=\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોય તો $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=............ $

જો [$A={{\tan }^{-1}}\left( \frac{\sqrt{3}x}{2k-x} \right)$ અને [$B={{\tan }^{-1}}\left( \frac{2x-k}{\sqrt{3}k} \right),$હોય તો $\left( A-B \right)=............$

વક્ર $y = Ax + {A^3}$ ના વિકલ સમીકરણની કક્ષા મેળવો.

$\int_3^5 {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}}\,dx} =$

${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right){\rm{ }},\,\,0 \le x \le 1$ ની મહતમ અને ન્યૂનતમ કિમત મેળવો.

જો $\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$ અને $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4$ હોય, તો $\overrightarrow a .\overrightarrow b =\ ......$