सिद्ध कीजिए : $\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right) = \frac{x}{2}, x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
Miscellaneous Exercise-10
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ज्ञात है, $\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right) = \frac{x}{2}, x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right) ...(i)$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं
$\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$
$= \sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}} (\because \sin ^{2} \frac{x}{2}+ \cos ^{2} \frac{x}{2} = 1$ तथा $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})$
$\Rightarrow \sqrt{1+\sin x} = \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$
इसी प्रकार, हम ज्ञात कर सकते हैं $\sqrt{1-\sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$
समी $(i)$ में, $\sqrt{1+\sin x} तथा \sqrt{1-\sin x}$ का मान रखने पर,
बायाँ पक्ष $= \cot ^{-1}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\cot \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2} =$ दायाँ पक्ष
वैकल्पिक विधि
बायाँ पक्ष $= \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}} \times \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}\right) ($हर के व्युत्क्रम का अंश तथा हर में गुणा करने पर$)$
$= \cot ^{-1}\left[\frac{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})^{2}}{(\sqrt{1+\sin x})^{2}-(\sqrt{1-\sin x})^{2}}\right]$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{1+\sin x+1-\sin x+2 \sqrt{1-\sin ^{2} x}}{1+\sin x-1+\sin x}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{2+2 \cos x}{2 \sin x}\right) (\because \cos ^{2} x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x}$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{2 \cos ^{2} {\frac x 2}}{2 \sin {\frac x 2} \cos {\frac x 2}}\right) (\because 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ तथा $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
$= \cot ^{-1}\left(\cot \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2} =$ दायाँ पक्ष
नोट यदि $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), तब \sqrt{1-\sin x} = \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}$
तथा यदि $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right),$ तब $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं
$\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$
$= \sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}} (\because \sin ^{2} \frac{x}{2}+ \cos ^{2} \frac{x}{2} = 1$ तथा $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})$
$\Rightarrow \sqrt{1+\sin x} = \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$
इसी प्रकार, हम ज्ञात कर सकते हैं $\sqrt{1-\sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$
समी $(i)$ में, $\sqrt{1+\sin x} तथा \sqrt{1-\sin x}$ का मान रखने पर,
बायाँ पक्ष $= \cot ^{-1}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\cot \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2} =$ दायाँ पक्ष
वैकल्पिक विधि
बायाँ पक्ष $= \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}} \times \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}\right) ($हर के व्युत्क्रम का अंश तथा हर में गुणा करने पर$)$
$= \cot ^{-1}\left[\frac{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})^{2}}{(\sqrt{1+\sin x})^{2}-(\sqrt{1-\sin x})^{2}}\right]$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{1+\sin x+1-\sin x+2 \sqrt{1-\sin ^{2} x}}{1+\sin x-1+\sin x}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{2+2 \cos x}{2 \sin x}\right) (\because \cos ^{2} x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x}$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)$
$= \cot ^{-1}\left(\frac{2 \cos ^{2} {\frac x 2}}{2 \sin {\frac x 2} \cos {\frac x 2}}\right) (\because 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ तथा $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
$= \cot ^{-1}\left(\cot \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2} =$ दायाँ पक्ष
नोट यदि $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), तब \sqrt{1-\sin x} = \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}$
तथा यदि $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right),$ तब $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$
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