Question
सिद्ध कीजिए कि $+: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ तथा $\times: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रियाएँ है, परंतु $-: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ तथा $\div: \mathbf{R}_{*} \times \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*}$ क्रमविनिमेय नहीं हैं।

Answer

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दर्शाइए कि $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ = 2 cos-1 x, $ \frac{1}{\sqrt{2}} \leq$x $ \leq 1$
दर्शाइए कि $\sin ^{-1} \frac{12}{13}$ + cos-1 $\frac{4}{5}$ + tan-1 $\frac{63}{16}$ = $ \pi$
सिद्ध कीजिए कि R में शून्य (0) योग का तत्समक है तथा 1 गुणा का तत्समक है। परंतु संक्रियाओं $-: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ और $\div: \mathbf{R}_{*} \times \mathbf{R}_{*} \rightarrow \mathbf{R}_{*}$ के लिए कोई तत्समक अवयव नहीं है।
tan-1 $\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ फलन की गणना कीजिए।
cos-1$\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ फलन की गणना कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(a, b) : संख्या 2, (a - b) को विभाजित करती है} द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है।
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ + $2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि f : $ \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R}$, f(x) = 4x+ 12x + 15 द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f : $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{S}$, जहाँ S, f का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
यदि R1 तथा R2 समुच्चय A में तुल्यता संबंध हैं, तो सिद्ध कीजिए कि R1 $\cap$ R2 भी एक तुल्यता संबंध है।