सिद्ध करो कि _ 0 ^ / 2 _ e ( x) dx=- 2 2 - Vidyadip

Question

सिद्ध करो कि $\int_{0}^{\pi / 2} \log _{e}(\sin \mathrm{x}) \mathrm{dx}=-\frac{\pi}{2} \log 2$

✓

Answer

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$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत $Z=x+y$ का आलेखीय विधि से अधिकतमीकरण कीजिए।
$\mathrm{x}-\mathrm{y} \leq-1,-\mathrm{x}+\mathrm{y} \leq 0, \mathrm{x} \geq 0, \mathrm{y} \geq 0$

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आलेखीय विधि से न्यनतमीकरण कीजिए।
$Z=5 x+7 y$
$2 x+y \geq 8, x+2 y \geq 10, x, y \geq 0$

निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
$\begin{align}\vec{\mathrm{r}}=(1+\lambda) \hat{\mathrm{i}}+(2-3 \lambda) \hat{\mathrm{j}}+(3+2 \lambda) \hat{\mathrm{k}} \end{align}$
$\vec{\mathrm{r}}=(4+2 \mu) \hat{\mathrm{i}}+(5+3 \mu) \hat{\mathrm{j}}+(6+\mu) \hat{k}$

रेखाओं $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ के मध्य की लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ तथा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-7}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
$
\begin{aligned}
& Z=20 x+30 y \text { (अधिकतमीकरण) } \\
& x+2 y \leq 20,3 x+2 y \leq 30, x \geq 0, y \geq 0
\end{aligned}
$

$\int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})$ + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।