Question
समाकलन $\int_{-\log _e 2}^{\log _e 2} e^x\left(\log _e\left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x$ का मान बराबर है
Put $e ^x=t \Rightarrow e^x d x=d t$
$I=\int \limits_{1 / 2}^2 \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) d t$
Applying integration by parts.
$=\left[t \ln \left( t +\sqrt{1+ t ^2}\right)\right]_{\frac{1}{2}}^2-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{ t +\sqrt{1+ t ^2}}\left(1+\frac{2 t }{2 \sqrt{1+ t ^2}}\right) d t$
$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{\sqrt{1+ t ^2}} dt$
$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
$=\ln \left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
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$1.$ निम्न में से कौन $0 < x < 1$ के लिए सत्य है ?
$(A)$ $0 < $ f(x) $ < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < $ f $($ x $) < 0$
$2.$ यदि फलन $e^{-x} f(x)$, अन्तराल $[0,1]$ में अपना न्यूनतम मान $x=\frac{1}{4}$ पर लेता है, तब निम्न में से कौन सत्य है ?
$(A)$ $f^{\prime}(x)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x), 0$
$(C)$ f $^{\prime}(x)$
$(D)$ $f^{\prime}(x)$
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$