_ k=1 ^6 ( (2k 7 )+i (2k 2 ) )=................. - Vidyadip

MCQ

$\sum_{k=1}^6\left(\sin\left(\frac{2k\pi}{7}\right)+i \cos \left(\frac{2k\pi}{2}\right)\right)=$.................

✓
$-1$
B
$1$
C
$0$
D
$-i$

✓

Answer

Correct option: A.

$-1$

A
$z = \sum_{k=1}^6(sin(\frac{2k\pi}{7}) + icos(\frac{2k\pi}{7})) = i \sum_{k=1}^6(cos(\frac{2k\pi}{7}) - isin(\frac{2k\pi}{7}))$
ધારો કે $ \theta = \frac{2\pi}{7}$
$ z = i \sum_{k=1}^6 e^{-ik\theta}$
$ = i [ e^{-i\theta} + e^{-i2\theta} +....+ e^{-i6\theta} ]$
$= i e^{-i\theta}(\frac{e^{-i6\theta} -1}{e^{-i\theta} -1}) = i e^{-i\theta}(\frac{cos6\theta - isin6\theta - 1}{cos\theta - isin\theta - 1}) = i e^{-i\theta}(\frac{1 -cos6\theta + isin6\theta }{1 - cos\theta + isin\theta })$
$= i e^{-i\theta}\frac{sin3\theta}{sin{\frac{\theta}{2}}} (\frac{sin3\theta + icos3\theta}{sin{\frac{\theta}{2} + icos{\frac{\theta}{2}}}})$
$= i e^{-i\theta}\frac{sin3\theta}{sin{\frac{\theta}{2}}} (\frac{cos3\theta - isin3\theta}{cos{\frac{\theta}{2} - isin{\frac{\theta}{2}}}})$
$ = ie^{-i\theta} \frac{sin3\theta}{sin{\frac{\theta}{2}}} e^{-3i\theta e^{\frac{i\theta}{2}}} = ie^{\frac{-7i\theta}{2}} \frac{sin3\theta}{sin{\frac{\theta}{2}}}$
$ie^{-i\pi} (\frac{sin{\frac{6\pi}{7}}}{sin{\frac{\pi}{7}}})$ $(\theta = \frac{2\pi}{7})$
$ = i (cos\pi - i sin\pi) \frac{sin(\pi - \frac{\pi}{7})}{sin(\frac{\pi}{7})} = -i$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો→સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

ધારો કે $H$ અતિવલય છે, જેની નાભીઓ $(1 \pm \sqrt{2}, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{2}$ છે. તો તેના નાભીલંબ ની લંબાઈ $..........$ છે.

સમીકરણ $\left( {\frac{{3 - 4ix}}{{3 + 4ix}}} \right) = $ $\alpha - i\beta \,(\alpha ,\beta \,$વાસ્તવિક છે ) નું સમાધાન કરે તેવી $x$ ની કિમત મેળવો.

$\frac{1}{1 ! 50 !}+\frac{1}{3 ! 48 !}+\frac{1}{5 ! 46 !}+\ldots .+\frac{1}{49 ! 2 !}+\frac{1}{51 ! 1 !}$ ની કિમંત મેળવો.

જો સમગુણોત્તરનું પ્રથમ પદ 3 અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 હોય તો પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો?

જો $\frac{{3x + 2iy}}{{5i - 2}} = \frac{{15}}{{8x + 3iy}}$ તો

ધારોકે $\{x\}$ એક $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે, અને $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(1-\{x\}^2\right) \sin ^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^3}, x \neq 0$ છે. જે $\mathrm{L}$ અને $\mathrm{R}$ એ $f(x)$ નું $x=0$ આગળનું અનુક્રમે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ દર્શાવે, તો $\frac{32}{\pi^2}\left(\mathrm{~L}^2+\mathrm{R}^2\right)=$....................

આપેલ અવલોકન $: 10, 14, 11, 9, 8, 12, 6$ નો ચલનાંક મેળવો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(3, 0)$ આગળ નાભિઓ ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ .....

સમીકરણ $a^2x^2 + (a + b) x - b^2 = 0$ ના બીજ કેવા હોય ?

જો $U = \{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10\} $, $A = \{ 1,\,2,\,5\} ,\,B = \{ 6,\,7\} $, તો $A \cap B'$ મેળવો.