STD 11 - 4.1 complex nubers — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

दिया गया योग $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)} $

=$\sum\limits_{k = 1}^6 {\left[ {( - i)\left( {\cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \right]} $

$ = ( - i)\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}} \right) = ( - i)\sum\limits_{k = 1}^6 {{z^k}} } $

यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $z$, पदों की संख्या $6$ एवं सार्वअनुपात $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7} \ne 1$ हैं।

अत: गुणोत्तर श्रेणी के योग से,

$S = ( - i)\frac{{z(1 - {z^6})}}{{1 - z}} = ( - i)\frac{{z - {z^7}}}{{1 - z}} = ( - i)\frac{{z - 1}}{{1 - z}} = i$