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STD 12 - 7.2 definite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.2 definite integral4 Marks
Question
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$
✓

Answer

b
(b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\frac{{{1^{99}} + {2^{99}} + ..... + {n^{99}}}}{{{n^{100}}}} $

$=  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\sum\limits_{r = 1}^n {\,\left( {\frac{{{r^{99}}}}{{{n^{100}}}}} \right)} $

$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\frac{1}{n}\,\,\sum\limits_{r = 1}^n {\,{{\left( {\frac{r}{n}} \right)}^{99}} = \int_0^1 {{x^{99}}dx =  \left[ {\frac{{{x^{100}}}}{{100}}} \right]_0^1 = \frac{1}{{100}}.} } $

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