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आव्यूह — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

Bihar BoardHindi Mediumकक्षा 12 साइन्सगणितआव्यूह2 Marks
Question
यदि A = $\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]$ इस प्रकार है कि A2 = I, तो
✓

Answer

  1. दिया है,
    AB = BA. ...(i)
    हम सिद्ध करना चाहते हैं, ABn = Bn A ...(ii)
    n = 1 के लिए समी (ii) स्पष्टतया सत्य है।
    मान लीजिए समी (ii) धनात्मक पूर्णांक n = m के लिए सत्य है।
    अर्थात् ABm = Bm A ...(iii)
    तब, n = m + 1 के लिए, ABm + 1 =  ABm B =(ABm) B (आव्यूह गुणनफल के साहचर्य नियम से)
    = (Bm A)B [समी (iii) के प्रयोग से]
    = Bm(AB) = Bm(BA) [समी (i) के प्रयोग से]
    = (BmBA) = Bm +1 A
    अतः n $\in$ N, के सभी मान के लिए यह सत्य है। (गणितीय आगमन के सिद्धांत से)
  2. यहाँ, दिया है, AB = BA ...(i)
    हमें सिद्ध करना है, (AB)n = An Bn ...(ii) 
    n = 1 के लिए समी (ii) स्पष्टतया सत्य है। [$ \because$ समी (i) से]
    मान लीजिए समी (ii) धनात्मक पूर्णांक n = m के लिए सत्य है।
    अर्थात् (AB)m = Am Bm
    तथा n = m + 1 के लिए, (AB)m + 1 = (AB)m (AB) = Am Bm(A B) [समी (iii) के प्रयोग से]
    = Am(Bm A) B = Am (ABm) B ($\because$ ABn =BnA, n $\in$ N के लिए, जब AB = BA)
    = (Am A) (Bm B) = Am + 1 Bm + 1
    अतः गणितीय आगमन के सिद्धंत से, n $\in$ N के सभी मानों के लिए यह सत्य है।

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