यदि A = [ cc 3 & -4 1 & -1 ], तो सिद्ध कीजिए An = [ cc 1+2 n & -4 n n & 1-2 n ], जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

हम n N, n के सभी मान के लिए इसे सिद्ध करेंगे। P(n) = An = [ cc 1+2 n & -4 n n & 1-2 n ] मान लीजिए n = 1 P(1): A1 = [ cc 1+2(1) & -4(1) 1 & 1-2(1) ] = [ cc 3 & -4 1 & -1 ] ...(i) जो n = 1 के लिए सत्य है। मान लीजिए यह परिणाम n = k के लिए सत्य है। P(k) = Ak = [ cc 1+2 k & -4 k k & 1-2 k ] ...(ii) मान लीजिए n = k + 1 तब, P(k + 1) : Ak + 1 = [ cc 1+2(k+1) & -4(k+1) k+1 & 1-2(k+1) ] = [ cc 2 k+3 & -4 k+4 k+1 & -2 k-1 ] अब, बाएँ पक्ष से, = Ak + 1 = Ak A1 = [ cc 1+2 k & -4 k k & 1-2 k ] [ cc 3 & -4 1 & -1 ] [समी (i) तथा (ii) के प्रयोग से] = [ cc (1+2 k) 3+(-4 k) 1 & (1+2 k) (-4)+(-4 k) (-1) k 3+(1-2 k) 1 & k (-4)+(1-2 k) (-1) ] = [ cc 3+2 k & -4-4 k k+1 & -1-2 k ] = [ cc 1+2(k+1) & -4(k+1) k+1 & 1-2(k+1) ] इस प्रकार, जब यह n = k के लिए सत्य है, तो n = k + 1 के लिए भी यह सत्य है, अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह n N के सभी मानों के लिये सत्य है।

यदि A = [ cc 3 & -4 1 & -1 ], तो सिद्ध कीजिए An = [ cc 1+2 n & -4…

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Question

यदि A = $ \left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए Aⁿ= $\left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right]$, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

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Answer

हम n $\in$ N, n के सभी मान के लिए इसे सिद्ध करेंगे। P(n) = Aⁿ= $ \left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right]$ मान लीजिए n = 1
P(1): A¹= $ \left[\begin{array}{cc} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$ ...(i)
जो n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए यह परिणाम n = k के लिए सत्य है।
P(k) = A^k= $ \left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right]$ ...(ii)
मान लीजिए n = k + 1
तब, P(k + 1) : A^{k + 1}= $ \left[\begin{array}{cc}1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1)\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}2 k+3 & -4 k+4 \\ k+1 & -2 k-1\end{array}\right]$
अब, बाएँ पक्ष से, = A^{k + 1}= A^kA¹
= $\left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right] $ [समी (i) तथा (ii) के प्रयोग से]
= $\left[\begin{array}{cc} (1+2 k) \cdot 3+(-4 k) \cdot 1 & (1+2 k) \cdot(-4)+(-4 k) \cdot(-1) \\ k \cdot 3+(1-2 k) \cdot 1 & k \cdot(-4)+(1-2 k) \cdot(-1) \end{array}\right] $
= $ \left[\begin{array}{cc} 3+2 k & -4-4 k \\ k+1 & -1-2 k \end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc} 1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1) \end{array}\right] $
इस प्रकार, जब यह n = k के लिए सत्य है, तो n = k + 1 के लिए भी यह सत्य है, अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह n $\in$ N के सभी मानों के लिये सत्य है।