यदि फलन f ( 6 , 3 ) पर इस प्रकार परिभाषित है कि f ,(x) , = , * 20… - Vidyadip

Question

यदि फलन $f \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि

$f\,(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt 2 \,\cos \,x - \,1}}{{\cot \,x\, - \,1}}\,,\,x\, \ne \,\frac{\pi }{4}}\\
{k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\, = \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right.$

संतत है, तो $k$ बराबर है :

✓

Answer

c
$\therefore \,$ function should be continuous at $x = \frac{\pi }{4}$

$\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sqrt 2 \cos x - 1}}{{\cot x - 1}} = k$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{ - \sqrt 2 \sin x}}{{ - \cos e{c^2}x}} = k$ (Using $L$ Hospital Rule)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \sqrt 2 {\sin ^3}x = k$

$ \Rightarrow k = \sqrt 2 {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{1}{2}$

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