Question
यदि $f(x) = |x - 3|,$ तब $f$ है
✓
Answer
d
(d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(3 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,|3 - h - 3|\,\, = 0$
(d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(3 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,|3 - h - 3|\,\, = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \,f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(3 + h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,|3 + h - 3|\,\, = 0$
$\because \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = f(3)$
अत: $f$, $x = 3$ पर सतत् है।
अब $L\,f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,\frac{{f(3 - h) - f(3)}}{{ - h}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,\frac{{|3 - h - 3|\,\, - 0}}{{ - h}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\frac{h}{{ - h}} = - 1$
$R\,f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,\frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,\frac{{|3 + h - 3|\,\, - 0}}{h} = 1$
$\because L\,{f}'(3)\,\ne \,R\,{f}'(3)$
अत: $f$ , $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
ट्रिक : ग्राफ से हम देख सकते हैं कि फलन सतत् है, किन्तु $x = 3$ पर स्पर्शी संभव नहीं है।
अत: अवकलनीय नही हैं।
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