Question
यदि $f(x) = x{e^{x(1 - x)}}$, तब $f(x)$ है
✓
Answer
a
(a)$f'(x) = {e^{x(1 - x)}} + x.{e^{x(1 - x)}}.(1 - 2x)$
$ = \,\,{e^{x(1 - x)}}\{ 1 + x(1 - 2x)\} = {e^{x(1 - x)}}.( - 2{x^2} + x + 1)$
अब $ - 2{x^2} + x + 1$ के लिए चिन्ह पद्धति से,
$f'(x) \ge 0,$ यदि $x\, \in \,\left[ { - \frac{1}{2},\,1} \right],$ क्योंकि ${e^x}(1 - x)$ हमेशा धनात्मक होता है। अत: $f(x)$, अंतराल $\left[ { - \frac{1}{2},\,1} \right]$ में वर्धमान है।
(a)$f'(x) = {e^{x(1 - x)}} + x.{e^{x(1 - x)}}.(1 - 2x)$
$ = \,\,{e^{x(1 - x)}}\{ 1 + x(1 - 2x)\} = {e^{x(1 - x)}}.( - 2{x^2} + x + 1)$
अब $ - 2{x^2} + x + 1$ के लिए चिन्ह पद्धति से,
$f'(x) \ge 0,$ यदि $x\, \in \,\left[ { - \frac{1}{2},\,1} \right],$ क्योंकि ${e^x}(1 - x)$ हमेशा धनात्मक होता है। अत: $f(x)$, अंतराल $\left[ { - \frac{1}{2},\,1} \right]$ में वर्धमान है।
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