यदि _2^e [ 1 x - 1 ( x) ^2 ] ,dx = + 2 , तो

Question

यदि $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}}$, तो

✓

Answer

a
(a) $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}}$
$L.H.S$. $ = \int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \int_2^e {\frac{1}{{\log x}}dx - \int_2^e {\frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} dx} $
$ = \left[ {\left( {\frac{x}{{\log x}}} \right)_2^e - \int_2^e {\left\{ { - \frac{1}{{x{{(\log x)}^2}}}} \right\}x\,\,dx} } \right]\, - \int_2^e {\frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}dx} $
=$\left| {\frac{x}{{\log x}}} \right|_2^e = e - \frac{2}{{\log 2}}$
इसकी तुलना दिये गये मान से करने पर, $\alpha = e$ व $\beta = - 2$.

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यदि $\omega $ इकाई का एक घनमूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\\omega &{x + {\omega ^2}}&1\\{{\omega ^2}}&1&{x + \omega }\end{array}\,} \right| = $

→

$\int_{}^{} {\frac{{\sin x}}{{\sin x - \cos x}}} \;dx = $

→

माना कि फलन $($functions$) f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R \ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ और $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-2 x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ 0, & \text { (otherwise), }\end{array}\right.$,
द्वारा परिभाषित हैं। माना कि $a, b, c, d \in R$ हैं। फलन $($function$) \ h: R \rightarrow R$ को
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
द्वारा परिभाषित कीजिये।
सूची $-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि $($entry$)$ का सूची $-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान कीजिये।

List $-I$	List $-II$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ ओर $d=0,$ तब	$(1)\ h$ एकैकी $($one $-$ one$)$ है।
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ ओर $d=0,$ तब	$(2) \ h$ आच्छादी $($onto$)$ है।
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ ओर $d=0, $ तब	$(3) \ h, R$ पर अवकलनीय $($differentiable$)$ है।
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ ओर $d=1,$ तब	$(4) \ h$ का परिसर $($range$) \ [0,1]$ है।
	$(5) \ h$ का परिसर $($range) \ {0,1\}$ है।

सही विकल्प हैं