Question
यदि $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $, तब ${u^2}$ के महत्तम और न्यूनतम मानों का अन्तर है
✓
Answer
a
(a) $2u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
$ = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} $ $ = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $
जहाँ $t = {a^2}{\cos ^2}\theta + {b^2}{\sin ^2}\theta ,\,({a^2} > {b^2})$
${t_{\max }} = {a^2}$ तथा ${t_{\min }} = {b^2}.$
माना $y = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$
अब $\frac{{dy}}{{dt}} = 0 \Rightarrow - 2t + ({a^2} + {b^2}) = 0 \Rightarrow t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$
$\frac{{dy}}{{dt}}$ चिन्ह के लिए
$\therefore$ ${({u_{\max }})^2} - {({u_{\min }})^2} = 2({a^2} + {b^2}) - {(a + b)^2} = {(a - b)^2}$.
(a) $2u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
$ = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} $ $ = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $
जहाँ $t = {a^2}{\cos ^2}\theta + {b^2}{\sin ^2}\theta ,\,({a^2} > {b^2})$
${t_{\max }} = {a^2}$ तथा ${t_{\min }} = {b^2}.$
माना $y = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$
अब $\frac{{dy}}{{dt}} = 0 \Rightarrow - 2t + ({a^2} + {b^2}) = 0 \Rightarrow t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$
$\frac{{dy}}{{dt}}$ चिन्ह के लिए
$\therefore$ ${({u_{\max }})^2} - {({u_{\min }})^2} = 2({a^2} + {b^2}) - {(a + b)^2} = {(a - b)^2}$.
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