Question 13 Marks
सिद्ध कीजिए कि वक्र $x = a \cos \theta + a \theta \sin \theta, y = a \sin \theta - a\theta \cos \theta$ के किसी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
Answerदिया गया वक्र है,
$x = a \cos \theta + a \theta \sin \theta$
$y = a \sin \theta - a \theta \cos \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d x}{d \theta} = - a \sin \theta + a(\theta \cos\theta + \sin\theta) = - a \sin \theta + a \theta \cos \theta + a \sin \theta$
$\frac{d x}{d \theta} = \theta \cos \theta$
और $\frac{d y}{d \theta}=a \cos \theta-a[\theta(-\sin \theta)+\cos \theta] = a \cos \theta + a \theta \sin \theta - a \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a\theta \sin \theta$
बिंदु $\theta$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d \theta} \times \frac{d \theta}{d x} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की प्रवणता $= - \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$
$\Rightarrow - \frac{1}{\tan \theta} = - \cot \theta$
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण
$y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = - \cot \theta[x - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta)]$
$\Rightarrow y - (a \sin\theta - a \theta \cos \theta = - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} [x - (a \cos \theta + a \theta \sin\theta)]$
$\Rightarrow y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = - x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin\theta \cdot \cos \theta$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a \left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) (\because \sin ^2+ \cos ^2\theta = 1)$
$\Rightarrow x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$\Rightarrow x \cos \theta + v \sin \theta - a = 0$
अब, मूलबिंदु से अभिलंब की दूरी $= \frac{|-a|}{\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}}$
$\Rightarrow = \frac{|-a|}{\sqrt{1}}=|-a| (\because \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1)$
जोकि $\theta$ से स्वतंत्र है। अतः मूलबिंदु से अभिलंब अचर दूरी पर है।
View full question & answer→Question 23 Marks
वक्र $x^2= 4y$ के बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerवक्र का समीकरण $= x^2 = 4y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
बिन्दु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{x_{1}}{2} = m ($माना$)$
$\therefore$ अभिलंब का समीकरण
$y - y_1 = -\frac{2}{x_1}(x - x_1) ...(i)$
बिंदु $(1, 2)$ पर
$2 - y_1 = \frac{2}{x_1}(1 - x_1)$
$\Rightarrow 2x_1 - x_1y_1 = -2 + 2x_1$
$x_1y_1 = 2$
$(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है, $...(ii)$
$\therefore x_{1}^{2}=4 y_{1} ...(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से,
$x_{1}^{2}=4 \cdot \frac{2}{x_{1}}$ या $x_{1}^{3}=8 \therefore x_{1}=2$
$\therefore y_1 = 1$
$\therefore$ बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण
$y - 1 = -\frac{2}{2}(x - 2) = -(x - 2)$
$x + y - 2 - 1 = 0$
$\therefore x + y - 3 = 0$
View full question & answer→Question 33 Marks
सिद्ध कीजिए कि f(x) = $ \frac{\log x}{x} $ द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
Answerमान लीजिए f(x) = $ \frac{\log x}{x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f$^{\prime}$(x) = $\frac{x\left(\frac{1}{x}\right)-(\log x) \cdot 1}{x^{2}}$ = $\frac{1-\log x}{x^{2}}$
पुनः अवकलन करने पर,
f$^{\prime \prime}$(x) = $\frac{x^{2}\left(-\frac{1}{x}\right)-(1-\log x) 2 x}{\left(x^{2}\right)^{2}} $
= $\frac{-x-2 x+2 x \log x}{x^{4}}$ = $\frac{x(2 \log x-3)}{x^{4}}$ = $\frac{2 \log x-3}{x^{3}}$
उच्चतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ $ \frac{1-\log x}{x^{2}}$ = 0
$\Rightarrow $ log x = 1 $\Rightarrow $ x = e
x = e पर,
f$^{\prime \prime}$(e) = $\frac{2 \log e-3}{e^{3}}$ = $\frac{2 \cdot 1-3}{e^{3}}$ = $\frac{-1}{e^{3}}$ < 0
इसलिए द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = e पर, f उच्चतम है।
View full question & answer→Question 43 Marks
f(x) = x $\sqrt{1-x}$, 0 < x < 1 के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन f(x) = x $ \sqrt{1-x}$
$ \Rightarrow $ f$^{\prime}(x) $ = $ \frac{x(-1)}{2 \sqrt{1-x}}$ + $\sqrt{1-x}$ = $\frac{-x+2(1-x)}{2 \sqrt{1-x}}$ = $\frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}} $
$\Rightarrow$ f$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{1-x}(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}{(1-x)}\right] $
= $ \frac{\sqrt{1-x(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}}{2(1-x)}$ = $\frac{-6(1-x)+(2-3 x)}{4(1-x)^{3 / 2}} $
= $\frac{3 x-4}{4(1-x)^{3 / 2}}$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\therefore$ $ \frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}}$ = 0 $ \Rightarrow$ 2 - 3x = 0 $\Rightarrow$ x = $ \frac{2}{3}$
x = $\frac{2}{3}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{3\left(\frac{2}{3}\right)-4}{4\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $ \frac{2-4}{4\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $\frac{-1}{2\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ < 0
$\therefore$ x = $ \frac{2}{3} $ उच्चतम का बिंदु है।
तथा उच्चतम मान = f $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{2}{3} \sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$ $\times $ $ \sqrt{\frac{1}{3}}$ = $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ = $\frac{2 \sqrt{3}}{9} $
View full question & answer→Question 53 Marks
g(x) = $\frac{1}{x^{2}+2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन है g(x) = $ \frac{1}{x^{2}+2}$
अब, g(x) = $ \left(x^{2}+2\right)^{-1}$ $\Rightarrow$ g$^{\prime}$(x) = -$ 1\left(x^{2}+2\right)^{-1-1}$ $\times $ 2x = $ \frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$
$\Rightarrow$ g$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{\left(x^{2}+2\right)^{2} \cdot(-2)-(-2 x) \cdot 2\left(x^{2}+2\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $\frac{-2\left(x^{2}+2\right)^{2}+8 x^{2}\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}}$ = $\frac{\left(x^{2}+2\right)\left(-2 x^{2}-4+8 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $ \frac{6 x^{2}-4}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$ = $\frac{2\left(3 x^{2}-2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए g$^{\prime}$(x) = 0 $\Rightarrow $ $\frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$ = 0 $\Rightarrow $ -2x = 0$\Rightarrow $ x = 0
x = 0 पर, g$^{\prime \prime}$(0) = $\frac{2\left[3(0)^{2}-2\right]}{\left[(0)^{2}+2\right]^{3}}$ = $\frac{-4}{8}$ = -$\frac{1}{2}$ < 0
$\therefore$ x = 0 उच्चतम का बिंदु है तथा उच्चतम मान, g(0) = $ \frac{1}{(0)^{2}+2}$ = $\frac{1}{2}$
View full question & answer→Question 63 Marks
g(x) = $ \frac{x}{2}$ + $\frac{2}{x}$, x > 0 के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन g(x) = $ \frac{x}{2}+\frac{2}{x}$, x > 0
$\Rightarrow$ g$^{\prime}$(x) = $\frac{1}{2}$ + 2 $\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{2}{x^{2}}$
और g$^{\prime \prime}(x) = - 2(- 2) x^{-3} = \frac{4}{x^{3}}$
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए, g'(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ $ \frac{1}{2}$ - $\frac{2}{x^{2}}$ = 0 $\Rightarrow $ $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow $ x = 2, -2 $\Rightarrow $ x = 2 [$\because$ x > 0 दिया है]
x = 2 पर, g$^{\prime \prime}$(2) = $ \frac{4}{2^{3}}$ = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$ > 0
$\therefore$ x = 2 न्यूनतम का बिंदु है।
न्यूनतम मान, g(2) = $ \frac{2}{2}$ + $\frac{2}{2}$ = 1 + 1 = 2
View full question & answer→Question 73 Marks
$f(x) = x^3- 6x^2+ 9x + 15$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 3x^2- 12x + 9$ तथा $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर
$\Rightarrow 3x^2- 12x + 9 = 0 \Rightarrow 3\left(x^{2}-4 x+3\right) = 0$
$\Rightarrow 3\left(x^{2}-3 x-x+3\right) = 0 \Rightarrow 3[x(x - 3) -1(x - 3)] = 0$
$\Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1$ या $x = 3$
$x = 1 पर, f^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 - 12 = 6 - 12 = - 6 < 0$
$\therefore x = 1$ उच्चतम का बिंदु है।
उच्चतम मान $= f(1) = (1)^3- 6 (1)^2+ 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$
$x = 3 पर, f^{\prime \prime}(3) = 6 \times 3 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$
$x = 3$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ न्यूनतम मान $= f(3) = 3^3- 6 \times 3^2+ 9 \times 3 + 15$
$= 27 - 54 + 27 + 15 = 15$
View full question & answer→Question 83 Marks
f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2$\pi$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन f(x) = sin x - cos x
0 < x < 2$\pi $
$\therefore$ f$^{\prime}$(x) = cos x + sin x और f$^{\prime \prime}$(x) = - sin x + cos x
न्यूनतम और उच्चतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ cos x + sin x = 0 $\Rightarrow $ $\frac{\sin x}{\cos x}$ = - 1 $\Rightarrow $ tan x = - 1
$\Rightarrow $ x = $\pi$ - $\frac{\pi}{4}$, 2 $\pi-\frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow $ x = $\frac{3 \pi}{4}$, $\frac{7 \pi}{4} $; x $\in$ (0, 2$\pi$)
$\therefore$ $\frac{3 \pi}{4}$और $ \frac{7 \pi}{4}$ पर स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम हो सकता है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{3 \pi}{4}$ + cos $\frac{3 \pi}{4}$
= - sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$+ cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ [$\because$ sin $(\pi-\theta)$ = sin $\theta$ और cos$(\pi-\theta)$ = - cos $\theta$]
= - sin $ \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $-\sqrt{2}$ < 0
$\therefore$ x = $\frac{3 \pi}{4}$ उच्चतम का बिंदु है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर उच्चतम मान = f$\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{3 \pi}{4}$ - cos $\frac{3 \pi}{4} $
= sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
तथा x = $\frac{7 \pi}{4} $ पर, f$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{7 \pi}{4}$ + $\cos \frac{7 \pi}{4}$
= - sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ + cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= sin $\frac{\pi}{4}$+ $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ > 0
$\therefore$ x = $ \frac{7 \pi}{4}$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ x = $\frac{7 \pi}{4}$ पर न्यूनतम मान
f$\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{7 \pi}{4}$ - cos $\frac{7 \pi}{4}$ = sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $\frac{\pi}{4} $= - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2} $
View full question & answer→Question 93 Marks
h(x) = sin x + cos x, 0 < x < $\frac{\pi}{2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन h(x) = sin x + cos x, 0 < x < $\frac{\pi}{2}$
$\therefore$ h$^{\prime}$(x) = cos x - sin x और h$^{\prime \prime}$(x) = -sin x - cos x
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए h$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ sin x = cos x $\Rightarrow$ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow$ tan x = 1 $\Rightarrow$ x = $ \frac{\pi}{4}$ $\in$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
x = $\frac{\pi}{4}$ पर, h$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $ \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = $\frac{\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम के मान का बिंदु है,
$\therefore$ स्थानीय उच्चतम मान h $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + cos $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
View full question & answer→Question 103 Marks
$g(x) = x^3- 3x$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन $g(x) = x^3- 3x$
$\therefore g^{\prime}(x) = 3x^2- 3$ और $g^{\prime \prime}(x) = 6x$
न्यूनतम और उच्चतम के लिए $g^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 3x^2- 3 = 0 \Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$x = - 1$ पर, $g^{\prime \prime} (- 1) = 6(- 1) = - 6 < 0$
अतः $x = - 1$ पर g का स्थानीय उच्चतम मान है तथा $x = - 1$ पर $g$ का स्थानीय उच्चतम मान $g(- 1) = (- 1)^3 - 3(- 1) = - 1 + 3 = 2$
$x = 1$ पर, $g^{\prime \prime}(1) = 6 \times 1 = 6 > 0$
$\therefore x = 1$ पर का स्थानीय न्यूनतम है और स्थानीय न्यूनतम मान $= g(1)$
$= 1^3 - 3 \times 1 = 1 - 3 = - 2$
View full question & answer→Question 113 Marks
$f(x) = x^2$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन $f(x) = x^2$
$\therefore x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$f^{\prime}(x) = 2x $और पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $f^{\prime \prime}(x) = 2$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\therefore 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
इसलिए, $x = 0$ केवल वह बिंदु है जिस पर f का स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम बिंदु हो सकता है।
अब, $f^{\prime \prime}(0) = 2 > 0 ($जो कि धनात्मक है$)$
इसलिए, द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 0, f$ के स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है और $x = 0$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = x^2 = 0^2 = 0$
View full question & answer→Question 123 Marks
g(x) = -|x + 1| + 3 के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो, ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन g(x) = -|x + 1| + 3
हम जानते हैं कि प्रत्येक x $\in$ R के लिए, |x + 1| $\geq$ 0
$\Rightarrow$ प्रत्येक x $\in$ R के लिए, - |x + 1| $\geq$ 0
$\Rightarrow$ प्रत्येक x $\in$ R के लिए, - |x + 1| + 3 $\geq$ 3
g का उच्चतम मान तभी ज्ञात किया जा सकता
जब |x + 1| = 0 या x = -1
अर्थात् |x + 1| = 0 $\Rightarrow$ x = -1
$\therefore$ g का उच्चतम मान = g (- 1) = |-1 + 1| + 3 = 3
इसलिए, g(x) का उच्चतम मान x = -1 पर 3 है लेकिन g(x) का कोई निम्नतम मान नहीं है।
View full question & answer→Question 133 Marks
f(x) = |x + 2| - 1 के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो, ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया फलन f(x) = |x + 2| - 1
हम जानते हैं कि प्रत्येक x $\in$ R के लिए, |x + 2| $ \geq $ 0
इसलिए, प्रत्येक x $\in$ R के लिए, f(x) = |x + 2| - 1 $ \geq $ - 1
f का न्यूनतम मान तभी ज्ञात किया जा सकता है जब |x + 2| = 0
अर्थात् |x + 2| = 0 $ \Rightarrow$ x = - 2
$\therefore$ f का न्यूनतम मान = f (- 2) = |-2 + 2| - 1 = 0 - 1 = - 1
इसलिए, f(x) का न्यूनतम मान - 1 है लेकिन x = 2 पर कोई उच्चतम मान नहीं है।
View full question & answer→Question 143 Marks
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
Answerमान लीजिए कि एक संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $(16 - x)$ है।
इन संख्याओं के घनों का योग S द्वारा दर्शाया जाता है।
तब $S = x^3+ (16 - x)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d S}{d x} = 3x^2+ 3(16 - x)^2(- 1) = 3x^2- 3 (16 - x)^2$
$\Rightarrow \frac{d^{2} S}{d x^{2}} = 6x + 6(16 - x) = 96$
न्यूनतम मान के लिए $\frac{d S}{d x} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0$
$\Rightarrow dx^2- (256 + x^2 - 32x) = 0$
$\Rightarrow 32x = 256$
$\Rightarrow x = 8$
$\Rightarrow \left(\frac{d^{2} S}{d x^{2}}\right)_{x=8} = 96 > 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 8, S$ का स्थानीय न्यूनतम मान है। संख्याओं के घनों का योग निम्नतम होगा जब संख्या $8$ और $16 - 8 = 8$ होगी।
अतः आवश्यक संख्याएँ $8$ और $8$ हैं।
View full question & answer→Question 153 Marks
ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + y = 60$ और $xy^3$ उच्चतम हो।
Answerमान लीजिए कि दो संख्याएँ $x, y$ हैं और $P = xy^3$ है।
दिया है $x + y = 60 \Rightarrow x = 60 - y$
अब, $x$ का मान $P$ में रखने पर
$P = (60 - y) y^3 \Rightarrow P = 60 y^3- y^4$
$y$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,
$\frac{dP}{dy} = 180 y^2- 4y^3$
और $\frac{d^{2} P}{d y^{2}} = 360y - 12y^2$
उच्चतम मान के लिए, $\frac{d P}{d y} = 0$
$\Rightarrow 180y^2- 4y^3= 0 \Rightarrow 4y^2(45 - y) = 0$
$\Rightarrow y = 0, 45$ लेकिन $y \neq 0$, इसलिए $y = 45$
$y = 45$ पर, $\left(\frac{d^{2} p}{d y^{2}}\right)_{y=45} = 360 \times 45 - 12 \times (45)^2$
$= 16200 - 24300 = - 8100 < 0$
$\Rightarrow P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है।
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है। इसलिए फलन $xy^3$
उच्चतम होगा जब $y = 45$ और $x = 60 - 45 = 15x = 15$
इसलिए, आवश्यक संख्याएँ है $15$ और $45$ हैं।
View full question & answer→Question 163 Marks
एक गोले की त्रिज्या $9 m$ मापी जाती है जिसमें $0.03 cm$ की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि गोले की त्रिज्या r है और त्रिज्या मापन में त्रुटि $\Delta $r है।
तब, r = 9 मी और $\Delta $r = 0.03 मी
अब गोले की पृष्ठ क्षेत्रफल, S = 4 $ \pi r^{2}$
$\Rightarrow$ $ \frac{d S}{d r}$ = 8 $ \pi$r
अतः, $\Delta$S = $ \left(\frac{d S}{d r}\right) $$\Delta $r = (8 $ \pi$r) $\Delta $r
$\Delta $S = 8 $ \pi$ $\times$ 9 $\times$ 0.03 = 2.16$ \pi$ मी$^2$
अतः पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 2.16 $ \pi$ मी$^2$ है।
View full question & answer→Question 173 Marks
एक गोले की त्रिज्या $7 m$ मापी जाती है जिसमें $0.02 m$ की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए की गोले की त्रिज्या r है और त्रिज्या मापन में त्रुटि $\Delta $r है।
तब, r = 7 मी और $\Delta $r = 0.02 मी
अब, गोले का आयतन V = $ \frac{4}{3} \pi r^{3}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d r}$ = $\left(\frac{4}{3} \pi\right)$$\left(3 r^{2}\right)$ = 4$ \pi r^{2} \\$
$\therefore$ $\Delta $V = $ \left(\frac{d V}{d r}\right) $ $\Delta $r = $ \left(4 \pi r^{2}\right)$ $\Delta $r
$\Delta $V = 4 $\pi $ $\times$ 7$^2$$\times$ 0.02 = 3.92 $\pi $ मी$^3$
$\Delta $V = 3.92$\pi $ मी$^3$
अतः आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 3.92 $\pi $ मी$^3$ है।
View full question & answer→Question 183 Marks
$x m$ भुजा वाले घन की भुजा में $1\%$ ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
Answerहम जानते हैं कि घन का पृष्ठ क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है
$S = 6x^2$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow$ $\frac{d S}{d x}$ = 12x
अब, पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta $S = $\left(\frac{d S}{d x}\right)$ $\Delta $x = (12x) $\Delta $x = 12x (- 0.01)x (जैसा कि $\Delta $x = x का - 1% = - 0.01x)
$= - 0.12x^2$ मी$^2$
अतः घन का पृष्ठ क्षेत्रफल में सन्निकट परिवर्तन $0.12x^2$ मी$^2$ है।
View full question & answer→Question 193 Marks
$x ~m$ भुजा वाले घन की भुजा में $1\%$ वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
Answerx भुजा वाले घन का आयतन $V = x^3$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow$ $\frac{d V}{d x}$ = 3x$^2$
अब, आयतन में परिवर्तन $\Delta $V = $\left(\frac{d V}{d x}\right)$ $\Delta x = (3x^2) \Delta $x
$= 3x^2(0.01x) = 0.03x^3 (\Delta $x = x का 1% = 0.01x)
$= 0.03x^3$मी$^3$
View full question & answer→Question 203 Marks
$f(5.001)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = x^3- 7x^2+ 15$ है।
Answerमान लीजिए $f(x) = x^3- 7x^2+ 15$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 3x^2- 14x$
माना कि $x = 5$ और $\Delta x = 0.001$
और $f(x + \Delta x) \simeq f(x) +\Delta x f^{\prime}(x)$
इसलिए $f(x + \Delta x) \simeq (x^3 - 7x^2+ 15) + \Delta x (3x^2- 14x)$
$\Rightarrow f(5.001) \simeq (5^3- 7 \times 5^2+ 15) + (3 \times 5^2- 14 \times 5) (0.001) (\because x = 5, \Delta x = 0.001)$
$= 125 - 175 + 15 + (75 - 70) (0.001) = - 35 + (5) (0.001)$
$= - 35 + 0.005 = - 34.995$
View full question & answer→Question 213 Marks
वक्र $y = x^3 - 11x + 5$ पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y = x - 11$ है।
Answerवक्र का समीकरण $y = x^3 - 11x + 5 ...(i)$
रेखा $y = mx + c$ से दी गई रेखा, $y = x - 11$
तुलना करने पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
अब, दिए गए वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता,$ \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 11$
$\Rightarrow 3x^2 - 11 = 1(m = \frac{d y}{d x} = 1) \Rightarrow 3x^2 - 11 = 1 \Rightarrow 3x^2= 12$
$\Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2$, तब समी $(i)$ से, $y = (+2)^3 - 11 \times 5 + 5 = - 9$
जब $x = - 2,$ तब समी $(i)$ से, $y = (-2)^3 - 11(2) + 5 = 19$
अतः बिंदु $(2,- 9)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (- 9) = 1(x - 2)$ या $y = x - 11$
जबकि बिंदु $(- 2, 19)$ रेखा $y = x - 11$ को संतुष्ट नहीं करता है।
View full question & answer→Question 223 Marks
वक्र $y = x^3- 3x^2- 9x + 7$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर है।
Answerवक्र का समीकरण है $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 ...(i)$
$\therefore \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 6x - 9$
अतः स्पर्श रेखा x अक्ष के समांतर है, तब स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है या हम कह सकते है कि,
$\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 2x - 3) = 0$
$\Rightarrow (x - 3) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, -1$
जब $x = 3,$ तब समी $(i)$ से,
$y = 3^3- (3)\cdot(3)^2 - 9\cdot 3 + 7$
$y = 27 - 27 - 27 + 7 = - 20$
जब $x = - 1, $ तब समी $(i)$ से,
$y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7$
$y = - 1 - 3 + 9 + 7 = 12$
अतः बिंदुओं $(3, - 20)$ और $(- 1, 12)$ जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं।
View full question & answer→Question 233 Marks
वक्र y = $\sqrt{3 x-2}$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x - 2y + 5 = 0 के समांतर है।
Answerदिए हुए वक्र का समीकरण है, y = $\sqrt{3 x-2}$
बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$ \frac{d y}{d x}$ = $ \frac{1}{2}$ $(3 x-2)^{\frac{1}{2}-1}$ $\cdot$3 = $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$
$\because$ रेखा का समीकरण 4x - 2y + 5 = 0
$\Rightarrow$ y = 2x + $ \frac{5}{2}$ (y = mx + c समीकरण के प्रकार का है)
$\therefore$ रेखा की प्रवणता m = 2 है।
अब, वक्र की स्पर्श रेखा, रेखा 4x - 2y + 5 = 0 के समांतर है। इसलिए
$\Rightarrow$ $\frac{3}{2 \sqrt{3 x-2}}$ = 2 $\Rightarrow$ 3 = 4$ \sqrt{3 x-2} $
3x - 2 = $ \left(\frac{3}{4}\right)^{2} $ $\Rightarrow$ 3x - 2 = $\frac{9}{16}$
$\Rightarrow$ 3x = 2 + $\frac{9}{16}$ $\Rightarrow$ x = $ \frac{41}{48} $
अब, x = $ \frac{41}{48}$, y = $\sqrt{3 x-2}$ में रखने पर,
y = $\sqrt{3\left(\frac{41}{48}\right)-2}$ = $\sqrt{\frac{41}{16}-2}$
$ \sqrt{\frac{41-32}{16}}$ = $\sqrt{\frac{9}{16}}$ = $\frac{3}{4} $
$\therefore$ स्पर्श रेखा का समीकरण जो बिंदु $ \left(\frac{41}{48}, \frac{3}{4}\right)$ से होकर गुजरती है जिसकी प्रवणता 2 है, इस प्रकार दिया जाता है।
y - $ \frac{3}{4}$ = 2 $\left(x-\frac{41}{48}\right) $
$\Rightarrow$ y - $\frac{3}{4}$ = 2x - $\frac{41}{24} $ $\Rightarrow$ 48x - 24y = 23
अतः, आवश्यक स्पर्श रेखा का समीकरण 48x - 24y = 23 है।
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अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 के बिंदु $\left(x_{0}, y_{0}\right) $ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $ \frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{2 x}{a^{2}}$ - $\frac{2 y}{b^{2}}$ $\frac{d y}{d x}$ = 0 $\Rightarrow$ $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$
$\therefore (x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, = $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ = $\frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$
अतः $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$ = $\frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$ $ \Rightarrow$ $ \frac{y_{0}\left(y-y_{0}\right)}{b^{2}}$ = $\left(x-x_{0}\right) \frac{x_{0}}{a^{2}} $
$ \Rightarrow$ $ \frac{y-y_{0}}{b^{2}}$ - $\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ = $\frac{x x_{0}}{a^{2}}$ - $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}$
$ \frac{x x_{0}}{a^{2}}$ - $\frac{y y_{0}}{b^{2}}$ = $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} $ $\Rightarrow$ $ \frac{x x_{0}}{a^{2}}$ - $\frac{y y_{0}}{b^{2}}$ = 1 [$\because$ $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ समी (i) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $ \frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 को संतुष्ट करता है]
अब, $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण,
इसलिए, $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण
$\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$ = $\frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}}$ $\left(x-x_{0}\right)$
$\Rightarrow$ $\frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}}$ = - $\frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}}$ $\Rightarrow$ $ \frac{y-y_{0}}{a^{2} y_{0}}$ + $\frac{x-x_{0}}{b^{2} x_{0}}$ = 0 View full question & answer→Question 253 Marks
सिद्ध कीजिए कि वक्र $x = y^2$ और $xy = k$ एक दूसरे को समकोण* पर काटती है, यदि $8k^2= 1$ है।
Answerदिए गए वक्रों के समीकरण है,
$x = y^2 ...(i)$
और $xy = k ...(ii)$
दोनों वक्रों का प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{k}{y} = y^2[$समी $(i)$ से $x$ का मान $(ii)$ में रखने पर$]$
$\Rightarrow y^3= k \Rightarrow y = k^{1/3}$
अंब, $y$ का मान समी $(i)$ में रखने पर, $x = (k^{1/3})^2= k^{2/3}$
$\therefore$ समी $(i)$ और समी $(ii)$ बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर काटते हैं।
समी $(i)$ का x के सापेक्ष अवकलन करने पर.
$1 = 2y \frac{d y}{d x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$
$\therefore$ प्रथम वक्र के बिंदु $(k^{2/3} , k^{1/3} )$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{1}{2 k^{1 / 3}} ...(iii)$
समी $(ii)$ से, $y = \frac{k}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{-k}{x^{2}}$
$\therefore$ द्वितीय वक्र के बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{-k}{\left(k^{2 / 3}\right)^{2}} = \frac{-k}{k^{4 / 3}} = \frac{-1}{k^{1 / 3}}$
हम जानते हैं कि दो वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, यदि वक्रों की स्पर्श रेखा, कटे हुए बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर एक-दूसरे पर अभिलंब हैं।
यह दर्शाता है कि स्पर्श रेखा के गुणनफल $= - 1$ होना चाहिए।
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2 k^{1 / 3}}\right)\left(-\frac{1}{k^{1 / 3}}\right) = - 1 \Rightarrow 1 = 2k^{2/3}$
$\Rightarrow 1^3= (2 k^{2/3})^3 \Rightarrow 1 = 8k^2$
अतः, दिए गए दो वक्र समकोण पर काटते हैं, यदि $8k^2= 1$
View full question & answer→Question 263 Marks
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए परवलय का समीकरण है,
$y^2= 4ax ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{d y}{d x} = 4a \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2 a}{y}$
$\therefore$ बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a t^{2}, 2 a t\right)} = \frac{2 a}{2 a t} = \frac{1}{t}$
अतः बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण,
$y - 2at = \frac{1}{t} (x - at^2) \Rightarrow yt - 2at^2 = x - at^2. $
$\Rightarrow x - ty + at^2 = 0$
और $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब की प्रवणता,
$\therefore (at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण,
$y - 2at = - t(x - at^2)$
$tx + y - 2at - at^3 = 0$ View full question & answer→Question 273 Marks
वक्र $y = x^3+ 2x + 6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^3+ 2x + 6 ...(i)$
दिए गए वक्र की स्पर्श. रेखा की प्रवणता बिंदु $(x, y)$ पर इस प्रकार दी जाती है,
$\frac{d y}{d x} = 3x^2+ 2$
$\therefore$ किसी बिंदु पर $(x, y)$ दिए गए वक्र की अभिलंब की प्रवणता
दी गई रेखा का समीकरण है, $x + 14y + 4 = 0$
$\Rightarrow y = - \frac{1}{14} x - \frac{4}{14}$ जोकि समीकरण $y = mx + c$ के प्रकार का है।
$\therefore$ दी गई रेखा की प्रवणता $= \frac{-1}{14}$
यदि अभिलंब रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है तब अभिलंब की प्रवणता उस रेखा की प्रवणता के बराबर होगी।
$\therefore \frac{-1}{3 x^{2}+2} = \frac{-1}{14} \Rightarrow 3x^2+ 2 = 14$
$\Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2, y = 8 + 4 + 6 = 18$
जब $x = - 2, y = - 8 - 4 + 6 = - 6$
इसलिए, दिए गए वक्र में दो अभिलंब है जिसकी प्रवणता $\frac{-1}{14}$ है। और बिंदु $(2, 18)$ और $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरती है।
इसलिए, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(2,18)$ से होकर गुजरती है।
$y - 18 = \frac{-1}{14} (x - 2)$
$ \Rightarrow14y - 252 = - x + 2 \Rightarrow x + 14y - 254 = 0$ और, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरता है।
$y - (- 6) = \frac{-1}{14} [x - (- 2)] \Rightarrow y + 6 = \frac{-1}{14} (x + 2)$
$14y + 84 = - x - 2 \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$
अतः दिए गए वक्र के अभिलंब के समीकरण $x + 14y - 254 = 0$ और $x + 14y + 86 = 0$ है जो दी गई रेखा $x + 1 + y + 4 = 0$ के समांतर है। View full question & answer→Question 283 Marks
वक्र $ay^2 = x^3$ के बिंदु $(am^2, am^3)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदिए हुए वक्र का समीकरण है, $ay^2 = x^3$ ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, a(2y) $\frac{d y}{d x} = 3x^2 \Rightarrow$ $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{3 x^{2}}{2 a y}$
बिंदु $\left(a m^{2}, a m^{3}\right)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता,
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a m^{2}, a m^{3}\right)}$ = $ \frac{3\left(a m^{2}\right)^{2}}{2 a\left(a m^{3}\right)}$ = $\frac{3}{2}$ m
$\therefore$ $\left(a m^{2}, a m^{3}\right)$ पर अभिलंब की प्रवणता, = $\frac{-1}{\frac{3 m}{2}}$ = $ \frac{-2}{3 m}$
$\therefore$ $\left(a m^{2}, a m^{3}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण
$y - am^3$ = - $\frac{2}{3 m} (x - am^2)$
$\Rightarrow 3my - 3am^4 = - 2x + 2a ^2$
$\Rightarrow 2x + 3my - 3am^4 - 2am^2 = 0$
View full question & answer→Question 293 Marks
वक्र $x^2+ y^2- 2x - 3 = 0$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x-$अक्ष के समांतर हैं।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $x^2+ y^2 - 2x - 3 = 0 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2y \frac{d y}{d x} - 2 = 0 \Rightarrow 2y \frac{d y}{d x} = 2 - 2x$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{2(1-x)}{2 y} = \frac{1-x}{y}$
स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर होने के लिए, $\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow \frac{1-x}{y} = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$ समी $(i)$ में रखने पर,
$1^2+ y^2- 2 \times 1 - 3 = 0 \Rightarrow y^2- 4 = 0$
$y = \pm 2$
अतः वो बिंदु जिस पर स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के समांतर $(1, 2)$ और $(1, - 2)$ है।
View full question & answer→Question 303 Marks
वक्र $y = 4x^3- 2x^5,$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $y = 4x^3 - 2x^5 ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 12x^2 - 10x^4$
इसलिए, बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $12x^2 - 10x^4$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - y = (12x^2 - 10x^4)(X - x) ...(ii)$
जब स्पर्श रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है, तब $x = y = 0$
इसलिए समी $(i)$ से, $- y = (12x^2 - 10x^4)(- x)$
$\Rightarrow y = 12x^3 - 10x^5$
और $y = 4x^3 - 2x^5$
$\therefore 12x^3 - 10x^5 = 4x^3 - 2x^5$
$\Rightarrow 8x^5 - 8x^3 = 0 \Rightarrow x^5- x^3= 0$
जब $x^3 (x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$
जब $x = 0, y = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0$
जब $x = 1, y = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 2$
जब $x = - 1, y = 4(- 1)^3 - 2(- 1)^5 = - 2$
अतः, आवश्यक बिंदु $(0, 0), (1, 2)$ और $(-1, -2)$ हैं।
View full question & answer→Question 313 Marks
वक्र $y = x^3$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^3$ ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x} = 3x^2$
किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस प्रकार दी जाती है $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x, y)}= 3x^2$
जब स्पर्श रेखा की प्रवणता y-अक्ष के बिंदु के बराबर हो, तब $y = 3x^2$
$\Rightarrow 3x^2= x^3 (\because y = x^3$ दिया है)
$\Rightarrow x^3(3 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 3$
जब $x = 0$, तब समी (i) से, $y = 3^3 = 27$
अतः, आवश्यक बिंदु (0, 0) और (3, 27) हैं।
View full question & answer→Question 323 Marks
सिद्ध कीजिए कि वक्र $y = 7x^3 + 11$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ $x = 2$ तथा $x = - 2$ है।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण है, $y = 7x^3 + 11$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$ \frac{d y}{d x}$ = 7 $ \times 3x^2 = 21x^2$
$\because$ $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता, $ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$
$\therefore$ x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=2} = 21(2)^2= 84$
$\therefore$ x = - 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=-2} = 21(- 2)^2 = 84$
यह पाया जाता है कि स्पर्श रेखा की प्रवणता उन बिंदुओं पर, जहाँ x = 2 और x = - 2 बराबर है, अतः दोनों स्पर्श रेखा समांतर है।
View full question & answer→Question 333 Marks
प्रवणता - 1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = $ \frac{1}{x-1}$, x $ \neq$ - 1 को स्पर्श करती है।
Answerदिए गए वक्र का समीकरण y = $\frac{1}{x-1}$, x $\neq$ 1 ...(i)
किसी बिंदु (x, y) पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{-1}{(x-1)^{2}}$ ...(i)
स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता = - 1 है, - 1 = $\frac{-1}{(x-1)^{2}}$
$\Rightarrow (x - 1)^2 = 1$
$\Rightarrow x - 1 = \pm 1$
$\Rightarrow x = 1 \pm 1 = 2, 0$
जब x = 2, तब समी (i) से, y = $\frac{1}{2-1}$ = 1
जब x = 0, तब समी (i) से, y = $\frac{1}{0-1}$ = -1
इसलिए, दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा, जिसकी प्रवणता -1 है, पर बिंदु (2, 1) और (0, -1) हैं।
$\therefore$ (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण y - 1 = - 1(x - 2) या x + y - 3 = 0 और (0, -1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण, y - (- 1) = - 1(x - 0) या x + y + 1 = 0
अतः आवश्यक रेखाओं का समीकरण x + y - 3 = 0 और x + y + 1 = 0 है।
View full question & answer→Question 343 Marks
सिद्ध कीजिए कि $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में y =$ \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}$ - $\theta$, $\theta$ का एक वर्धमान फलन है।
Answerदिया है, y = $\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}$- $ \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d \theta}$ = $\frac{d}{d \theta}$$\left[\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}-\theta\right]$
$y^{\prime}$ = $\frac{(2+\cos \theta) \frac{d}{d \theta}(4 \sin \theta)-4 \sin \theta \frac{d}{d \theta}(2+\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 1
= $\frac{4 \cos \theta(2+\cos \theta)-4 \sin \theta(-\sin \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 1
= $\frac{8 \cos \theta+4 \cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 1
= $\frac{8 \cos \theta+4\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 1 = $ \frac{8 \cos \theta+4}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 1
= $\frac{8 \cos \theta+4-(2+\cos \theta)^{2}}{(2+\cos \theta)^{2}}$ = $\frac{8 \cos \theta+4-4-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}}$ - 4 cos $\theta$
$\therefore $ $ y^{\prime}$ = $\frac{d y}{d \theta}$ = $\frac{4 \cos \theta-\cos ^{2} \theta}{(2+\cos \theta)^{2}}$ = $\frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$
अंतराल$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $ में, cos $\theta$ > 0, $\therefore$ 4 > cos $ \theta$ $ \Rightarrow$(4 - cos $ \theta$) > 0
$\therefore$ cos $ \theta$(4 - cos $ \theta$) $\geq$ 0 और (2 + cos $ \theta)^2$ > 0 $\Rightarrow$ $\frac{\cos \theta(4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^{2}}$ $\geq$ 0 $ \Rightarrow$ $\frac{d y}{d \theta}$ $\geq$ 0
अतः, दिया गया फलन अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में वर्धमान है।
View full question & answer→Question 353 Marks
$x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y = [x(x - 2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।
Answerदिया है, $y = [x(x - 2]^2= [x^2- 2x]^2$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = 2(x^2- 2x) \frac{d}{d x} (x^2- 2x)$
$= 2(x^2- 2x)(2x - 2) = 4x(x - 2)(x - 1)$
$\frac{d y}{d x}$ = 0 रखने पर, x = 0, 1 और 2
जोकि वास्तविक रेखा को चार अलग अंतराल (-$\infty$, 0), (0,1), (1, 2) और (2, $\infty$) में विभाजित करता है
| अंतराल |
y$^{\prime}$(x) का चिन्ह |
y(x) की प्रकृति |
| -$\infty$, 0 |
(-) (-) (-) = - ve |
निरंतर ह्रासमान |
| (0, 1) |
(+) (-) (-) = + ve |
निरंतर ह्रासमान |
| (1, 2) |
(+) (-) (+) = - ve |
निरंतर ह्रासमान |
| (2, $\infty$) |
(+) (+) (+) = + ve |
निरंतर ह्रासमान |
इसलिए, (0,1) और (2, $\infty$) पर y(x) वर्धमान फलन है। View full question & answer→Question 363 Marks
सिद्ध कीजिए कि y = log (1 + x) - $\frac{2 x}{2+x}$, x > - 1, अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
Answerदिया है, y = log (1 + x) - $\frac{2 x}{(2+x)}$
अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}$ = $ \frac{d y}{d x}$ [log (1 + x) - $\frac{2 x}{2+x}$]
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{(2+x) \frac{d}{d x}(2 x)-2 x \frac{d}{d x}(2+x)}{(2+x)^{2}}$
= $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4+2 x-2 x}{(2+x)^{2}}$ $\frac{1}{1+x}$ - $\frac{4}{(2+x)^{2}}$ = $\frac{(2+x)^{2}-4(1+x)}{(1+x)(2+x)^{2}}$
= $\frac{4+x^{2}+4 x-4-4 x}{(1+x)(2+x)^{2}}$ = $\frac{x^{2}}{(1+x)(2+x)^{2}}$
जब x $\in$(- 1,$ \infty$), तब $\frac{x^{2}}{(2+x)^{2}}$ > 0 और (1 + x) > 0 $\therefore$ y$^{\prime}$ > 0 जब x > - 1
अतः, y अपने संपूर्ण (x > - 1) प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
View full question & answer→Question 373 Marks
निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y = x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
Answerदिया है, $y = x^2e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d y}{d x} = x^2e^{-x}(-1) + e^{-x}(2x) = xe^{-x}(- x + 2) = x(2 - x) e^{-x}$
वर्धमान फलन के लिए, $\frac{d y}{d x} > 0 \Rightarrow x e^{-x}(2 - x) > 0$
$\Rightarrow x > 0$ या $2 - x > 0 \Rightarrow x > 0$ या $- x > - 2 \Rightarrow x > 0$ या $x < - 2$
क्योंकि $e^{-x}$ शुन्य नहीं हो सकता है, इसलिए फलन अंतराल $(0, 2)$ में वर्धमान है।
View full question & answer→Question 383 Marks
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत $Cx ($रुपये में$)$
$C(x) = 0.007 x^3- 0.003 x^2+ 15x + 4000$
से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
Answerसीमांत लागत $= \frac{d c}{d t}$
$\frac{d c}{d t} = 0.007 (3x^2) - 0.003(2x) + 15 = 0.021 x^2- 0.006x + 15$
जब $x = 17,$ सीमांत लागत $= 0.021(17)^2 - 0.006(17) + 15$
$= 0.021(289) - 0.006(17) + 15 = 6.069 - 0.102 + 15 = 20.967$
अतः जब $17$ इकाइयों का उत्पादन किया गया है, तो सीमांत लागत $₹20.967$ है।
View full question & answer→Question 393 Marks
एक पाइप से रेत $12\ cm^3/s$ की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई $4\ cm$ है?
Answerमान लीजिए कि त्रिज्या $r,$ ऊँचाई $h$ और आयतन $V$ है।
यह दिया है, $\frac{d V}{d t} = 12$ सेमी$^3/$ से और $h = \frac{1}{6}r \Rightarrow r = 6h$
अब, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi(6 h)^2 h = 12\pi h^3$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d V}{d t} = (12\pi) \left(3 h^{2} \frac{d h}{d t}\right) = 36\pi h^2 \frac{d h}{d t}$
$\therefore 12 = 36 \pi(4)^2 \frac{d h}{d t} (\because h = 4$ सेमी और $\frac{d V}{d t} = 12$ सेमी$/$से$)$
$\Rightarrow \frac{d h}{d t} = \frac{12}{36 \pi \times 16} = \frac{1}{48 \pi}$ सेमी$/$से
अतः जब ऊँचाई $4$ सेमी है, तो रेत से बने शंकु की ऊँचाई $\frac{1}{48 \pi}$ सेमी$/$से की दर से बढ़ रही है।
View full question & answer→Question 403 Marks
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $\frac{3}{2}(2x + 1)$ है। $x$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, गुब्बारे का व्यास $= \frac{3}{2}(2x + 1)$
$\therefore$ त्रिज्या $=$ 
$= \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}(2 x+1)\right] = \frac{3}{4}(2x + 1)$
$\therefore V = \frac{4}{3} \pi ($त्रिज्या$)^3= \frac{4}{3}\pi \left[\frac{3}{4}(2 x+1)\right]^{3} \Rightarrow V = \frac{9 \pi}{16} (2x + 1)^3$
आयतन के परिवर्तन की दर के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = \frac{9 \pi}{16} \times 3(2x + 1)^2 \times 2 = \frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^2$
अतः, आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{27 \pi}{8} (2x + 1)^2$ है। View full question & answer→Question 413 Marks
एक कण वक्र $6y = x^3+ 2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x -$ निर्देशांक की तुलना में $y -$ निर्देशांक $8$ गुना तीव्रता से बदल रहा है।
Answerदिया है, $6y = x^3+ 2$ और $\frac{d y}{d t} = 8\frac{d x}{d t}$
$t $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$6 \frac{d y}{d t} = 3x^2 \frac{d x}{d t} \Rightarrow 6 \times 8 \frac{d x}{d t} = 3x^2 \frac{d x}{d t} $
$\Rightarrow 3x^2= 48 \Rightarrow x^2= 16, x = \pm 4$
जब $x = 4, $ तब $6y = (4)^3+ 2 \Rightarrow 6y = 64 + 2 \Rightarrow y = \frac{66}{6} = 11$
जब $x = -4,$ तब $6y = (- 4)^3+ 2 \Rightarrow 6y = - 64 + 2$
$\Rightarrow y = \frac{-62}{6} = \frac{-31}{3}$
अतः वक्र पर बिंदु $(4, 11)$ और $\left(-4, \frac{-31}{3}\right) $ हैं।
View full question & answer→Question 423 Marks
एक $5\ m$ लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर $2\ cm/ s$ की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से $4\ m$ दूर है?
Answer
मान लीजिए $AB = 5$ मी सीढ़ी की लंबाई है और $y$ दीवार की ऊँचाई है जिस पर सीढ़ी झुकी है और सीढ़ी का पाद $B$ पर है, जहाँ से $C$ की दूरी $($दीवार से$) x$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी का नीचे का सिरा जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर $2$ सेमी/से की दर से खींचा जाता है।
$\therefore \frac{d x}{d t} = 2$ सेमी/से
जैसा कि हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ समकोण त्रिभुज है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$x^2+ y^2= 5^{2 ...}(i)$
जब $x = 4,$ तब $y^2= 5^2- 4^2 \Rightarrow y = \sqrt{25-16} \Rightarrow y = 3$ मी
समी $(i)$ को समय $(t)$ के सापेक्ष दोनों ओर का अवकलन करने पर,
$2x \frac{d x}{d t} + 2y \frac{d y}{d t} = 0 \Rightarrow x \frac{d x}{d t} + y \frac{d y}{d t} = 0$
$\Rightarrow 4 \times 2 + 3 \times \frac{d y}{d t} = 0 (\therefore x = 4$ और $\frac{d x}{d t} = 2)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d t} = \frac{-8}{3}$
$\Rightarrow$ दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई $\frac{d y}{d t} = \frac{-8}{3}$ सेमी$/$से की दर से घट रही है।
$($ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई $\frac{8}{3}$ सेमी$/$से की दर से घट रही है$)$ View full question & answer→Question 433 Marks
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x (0, 2$ \pi$) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।
Answerध्यान दीजिए कि f$^{\prime}$(x) = - sin x
- चूँक प्रत्येक x $\in$(0, $\pi$) के लिए sin x > 0, हम पाते हैं कि f$^{\prime}$(x) < 0 और इसलिए (0, $\pi$) में f हासमान है।
- चूँकि प्रत्येक x $\in$ ($\pi$, 2$\pi$) के लिए sin x < 0, हम पाते हैं कि $f^{\prime}$ (x) > 0 और इसलिए ($\pi$, 2$\pi$) में f वर्धमान है।
- उपरोक्त (i) और (ii) से स्पष्ट है कि (0, 2 $\pi$) में f न तो वर्धमान है और न ही ह्यसमान है।
View full question & answer→Question 443 Marks
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x ($\pi$, 2 $\pi$), में वर्धमान है।
Answerध्यान दीजिए कि f$^{\prime}$(x) = - sin x
चूँकि प्रत्येक x $\in$ ($\pi$, 2$\pi$) के लिए sin x < 0, हम पाते हैं कि $f^{\prime}$ (x) > 0 और इसलिए ($\pi$, 2$\pi$) में f वर्धमान है।
View full question & answer→Question 453 Marks
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त फलन f(x) = cos x (0, $\pi$) में ह्यसमान है।
Answerध्यान दीजिए कि f$^{\prime}$(x) = - sin x
चूँक प्रत्येक x $\in$(0, $\pi$) के लिए sin x > 0, हम पाते हैं कि f$^{\prime}$(x) < 0 और इसलिए (0, $\pi$) में f हासमान है।
View full question & answer→Question 463 Marks
किसी उत्पाद् की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये में $R(x) = 3x^2+ 36x + 5$ से प्रदत्त है। जब $x = 5$ हो तो सीमांत आय ज्ञात कीजिए। जहाँ सीमांत आय (marginal revenue or MR) से हमारा अभिप्राय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है।
Answerक्योंकि सीमांत आय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष आय परिवर्तन की दर होती है। हम जानते हैं कि
सीमांत आय MR = $\frac{d \mathrm{R}}{d x} $ = 6x + 36
जब x = 5 है तब MR = 6(5) + 36 = 66
अतः अभीष्ट सीमांत आय अर्थात आय प्रति इकाई ₹66 है।
View full question & answer→Question 473 Marks
किसी वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत $C(x)$ रुपये में $C(x) = 0.005 x^3 - 0.02 x^2+ 30x + 5000$ से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब $3$ इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत $($marginal cost या MC$)$ से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर से है।
Answerक्योंकि सीमांत लागत उत्पादन के किसी स्तर पर x इकाई के सापेक्ष संपूर्ण लागत के परिवर्तन की दर है। हम पाते हैं कि
सीमांत लागत $MC = \frac{d \mathrm{C}}{d x} = 0.005 (3x^2) - 0.02(2x) + 30$
जब $x = 3$ है तब $MC = 0.015 (3^2) - 0.04(3) + 30$
$= 0.135 - 0.12 + 30 = 30.015$
अतः अभीष्ट सीमांत लागत अर्थात लागत प्रति इकाई $₹30.02 ($लगभग$) $ है।
View full question & answer→Question 483 Marks
सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$, अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में वर्धमान फलन है।
Answerदिया है,
$f(x) = \tan^{-1}(sin x + cos x)$
f'(x) = $ \frac{1}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}$. (cos x - sin x)
= $\frac{1}{1+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cdot \cos x}$(cos x - sin x)
= $\frac{1}{(2+\sin 2 x)}$(cos x - sin x) [$\because$ sin 2x = 2 sin x cos x तथा $\sin^2 x + \cos^2x = 1$]
f'(x) $\geq$0, $\frac{1}{(2+\sin 2 x)}$. (cos x - sin x) $\geq$ 0 के लिए
$\Rightarrow$ cos x - sin x $\geq$ 0 [$\because$(2 + sin 2x)$\geq$ 0 in $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$]
$\Rightarrow$ cos x $\geq$ sin x
यह तभी सत्य होगा यदि x $\in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
अतः f(x) $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में वर्द्धमान फलन है।
View full question & answer→Question 493 Marks
उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ + $\frac{36}{5} x$ + 11
- वर्धमान
- ह्यसमान है।
Answerहमें ज्ञात है कि
f(x) = $ \frac{3}{10} x^{4}$ - $\frac{4}{5} x^{3}$ - $3 x^{2}$ +$\frac{36}{5} x$ + 11
या f$^{\prime}$(x) = $ \frac{3}{10}\left(4 x^{3}\right)$ - $\frac{4}{5}\left(3 x^{2}\right)$ - $3(2 x)+\frac{36}{5}$
= $ \frac{6}{5}$ (x - 1)(x + 2)(x - 3) (सरल करने पर)
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से x = 1, x = - 2, और x = 3 प्राप्त होते हैं। x = 1, -2, और 3 वास्तविक रेखा को चार असंयुक्त अंतरालों नामतः ($-\infty$,- 2), (- 2, 1), (1, 3) और (3, $-\infty$) में विभक्त करता है।
अंतराल ($-\infty$, - 2) को लीजिए अर्थात् जब $-\infty$ < x < - 2 है।
इस स्थिति में हम x - 1 < 0, x + 2 < 0 और x - 3 < 0 प्राप्त करते हैं।
विशेष रूप से x = - 3 के लिए देखिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1) (x + 2) (x - 3)= (- 4)(- 1)(- 6) < 0) इसलिए, जब $-\infty$ < x < - 2 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है। अत: ($-\infty$, - 2) में फलन F ह्यसमान है।
अंतराल (- 2, 1), को लीजिए अर्थात् जब - 2 < x < 1 है।
इस दशा में x - 1 < 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
विशेष रूप से x = 0, के लिए ध्यान दीजिए कि, f$^{\prime}$(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (- 1)
(2) (- 3) = 6 > 0)
इसलिए जब - 2 < x < 1 है, तब f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः (-2,1) में फलन f वर्धमान है।
अब अंतराल (1,3) को लीजिए अर्थात् जब 1 < x < 3 है। इस दशा में कि x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 < 0 है।
इसलिए, जब 1 < x < 3 है, तब f$^{\prime}$(x) < 0 है।
अतः (1,3) में फलन f ह्रासमान है। अंत में अंतराल (3, $\infty$), को लीजिए अर्थात् जब 3 < x < $\infty$ है। इस दशा में x - 1 > 0, x + 2 > 0 और x - 3 > 0 है। इसलिए जब x > 3 है तो f$^{\prime}$(x) > 0 है।
अतः अंतराल (3, $\infty$) में फलन f वर्धमान है।
View full question & answer→Question 503 Marks
वक्र $y = \cos (x + y), -2 \pi \leq x \leq 2 \pi,$ की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर हैं।
Answerदिया हुआ है कि $y = \cos (x + y) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = -\sin(x + y)\left[1+\frac{d y}{d x}\right]...(i)$
या $\frac{d y}{d x} = -\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)}$
क्योंकि स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर है, इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता $= -\frac{1}{2}$
इसलिए, $-\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)} = -\frac{1}{2}\Rightarrow \sin (x + y) = 1$
क्योंकि $\cos (x + y) = y$ तथा $\sin(x + y) = 1 \Rightarrow \cos^2(x + y) + \sin^2(x + y) = y^2 + 1$
$\Rightarrow 1 = y^2 + 1y = 0$
इसलिए $\cos x = 0$
इसलिए $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2...$
अतः, $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2},$ परतु $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{-3 \pi}{2}$ समीकरण $(ii)$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right),\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$उपयुक्त बिंदु है।
इस प्रकार $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ या $2 x+4y-\pi = 0?$
तथा $\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)$ या $2x + 4y + 3\pi = 0$
View full question & answer→Question 513 Marks
वक्र $x^2= 4y$ के किसी बिंदु पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1, 2)$ से होकर जाता है।
Answer$x^2= 4y$ का, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$
मान लीजिए वक्र $x^2= 4y$ के अभिलंब के संपर्क बिंदु के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। अब $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$\left.\frac{d y}{d x}\right]_{(h, k)} = \frac{h}{2}$
$\Rightarrow (h, k)$ पर अभिलंब की प्रवणता $= \frac{-2}{h}$ है।
इसलिए $(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण है
$y - k = \frac{-2}{h}(x-h) ...(1)$
परंतु यह बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है। हम पाते हैं कि
$2 - k = \frac{-2}{h}(1 - h)$ या $k = 2 + \frac{2}{h}(1 - h) ...(2)$
क्योंकि $(h, k)$ वक्र $x^2 =4y$ पर स्थित है। इसलिए
$h^2= 4k ...(3)$
अब $(2)$ व $(3),$ से $h = 2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। $h$ और $k$ के इन मानों को $(1) $ में रखने पर अभिलंब का अभीष्ट समीकरण निम्नलिखित प्राप्त होता है।
$y - 1 = \frac{-2}{2} (x - 2)$ या $x + y = 3$
View full question & answer→Question 523 Marks
f(x) = $12x^{\frac{4}{3}}$ - $6x^{\frac{1}{3}}$, x $ \in$ [- 1, 1] द्वारा प्रदत्त एक फलन f के निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Answerहमें ज्ञात है कि
f(x) = $12x^{\frac{4}{3}}$ - $6x^{\frac{1}{3}}$
या f$^{\prime}$(x) = $16x^{\frac{1}{3}}$ - $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ = $\frac{2(8 x-1)}{x^{\frac{2}{3}}}$
इस प्रकार f$^{\prime}$(x) = 0 से x = $\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है। और ध्यान दीजिए कि x = 0 पर f$^{\prime}$(x) परिभाषित नहीं है। इसलिए क्रांतिक बिंदु x = 0 और x = $ \frac{1}{8}$ हैं। अब क्रांतिक बिंदुओं x = 0, $\frac{1}{8}$ और अंतराल के अंत्य बिंदुओं x = - 1 व x = 1 पर फलन f के मान का परिकलन करने से
f(- 1) = 12(-$1^{\frac{4}{3}}$) - 6(-$1^{\frac{1}{3}}$) = 18
f(0) = 12(0) - 6(0) = 0
$f\left(\frac{1}{8}\right) $= $12\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{4}{3}}$ - $6\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$ = $\frac{-9}{4}$
f(1) = $12\left(1^{\frac{4}{3}}\right)$ - $6\left(1^{\frac{1}{3}}\right)$ = 6
प्राप्त होते हैं। इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते है कि x = - 1 पर f का निरपेक्ष उच्चतम मान 18 है और x = $\frac{1}{8}$ पर f का निरपेक्ष निम्नतम मान $\frac{-9}{4}$ है।
View full question & answer→Question 533 Marks
किसी आयत की लंबायीं $x, 3$ cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई $y, 2$ cm/min की दर से बढ़ रही है। जब $x = 10\ cm$ और $y = 6\ cm$ है तब आयत के
- परिमाप और
- क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि समय के सापेक्ष लंबायीं $x$ घट रही है और चौड़ाई $y$ बढ़ रही है तो हम पाते हैं कि $\frac{d x}{d t} = -3\ cm/min$ और $\frac{d y}{d t} = 2\ cm/min$
- आयत का परिमाप $P$ से प्रदत्त है, अर्थात्
$P = 2(x + y)$
इसलिए $\frac{d \mathrm{P}}{d t} = 2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right) = 2(-3 + 2) = -2\ cm/min$
- आयत का क्षेत्रफल $A$ से प्रदत्त है यथा
$A = x \cdot y$
इसलिए
$\frac{d \mathrm{~A}}{d t} = \frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t}$
$= -3(6) + 10(2) ($क्योंकि $x = 10\ cm$ और $y = 6\ cm)$
$= 2\ cm^2/min$
View full question & answer→Question 543 Marks
अंतराल $[1, 5]$ में $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ द्वारा प्रदत्त फलन के निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मानों को ज्ञात कीजिए।
Answerहमें ज्ञात है
$f(x) = 2x^3 - 15x^2+ 36x + 1$
या f$^{\prime}(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x - 3)(x - 2)$
ध्यान दीजिए f$^{\prime}$(x) = 0 से x = 2 और x = 3 प्राप्त होते हैं।
अब हम इन बिंदुओं और अंतराल [1, 5] के अंत्य बिंदुओं अर्थात् x = 1, x = 2, x = 3 और x = 5 पर f के मान का परिकलन करेंगे। अब
$f(1) = 2(1^3) - 15(1^2) + 36(1) + 1 = 24$
$f(2) = 2(2^3) - 15(2^2) + 36(2) + 1 = 29$
$f(3) = 2(3^3) - 15(3^2) + 36(3) + 1 = 28$
$f(5) = 2(5^3) - 15(5^2) + 36(5) + 1 = 56$
इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि अंतराल [1, 5] पर फलन f के लिए x = 5 पर निरपेक्ष उच्चतम मान 56 और x = 1 पर निरपेक्ष निम्नतम मान 24 है।
View full question & answer→Question 553 Marks
मान लीजिए बिंदु $A$ और$ B$ पर क्रमशः $AP$ तथा $BQ$दो उध्वर्धर स्तंभ है। यदि $AP = 16\ m, BQ = 22\ m$ और $AB = 20m$ हों तो $AB$ पर एक ऐसा बिंदु $R$ ज्ञात कीजिए ताकि $RP^2+ RQ^2$ निम्नतम हो।
Answer
मान लीजिए $AB$ पर एक बिंदु R इस प्रकार है $AR = x\ m$ है। तब $RB = (20 - x) m ($क्योंकि $AB = 20 n$ से$)$
$RP^2= AR^2+ AP^2$
और $RQ^2= RB^2+ BQ^2$
इसलिए $RP^2 + RQ^2 = AR^2 + AP^2 + RB^2 + BQ^2$
$= x^2 + (16)^2 + (20 - x)^2+ (22)^2$
$= 2x^2- 40x + 1140$
मान लीजिए कि $S \equiv S (x) = RP^2 + RQ^2 = 2x^2- 40x + 1140$ है।
अतः $S^{\prime}(x) = 4x - 40$ है।
अब $S^{\prime}(x) = 0$ से $x = 10$ प्राप्त होता है और सभी $x$ के लिए $S^{\prime \prime}(x) = 4 > 0$ है और इसलिए $S^{\prime \prime}(10) > 0$ है। इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण से $x = 10, S$ का स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। अतः $AB$ पर $R$ की $A$ से दूरी $AR = x = 10\ m$ है। View full question & answer→Question 563 Marks
बिंदु $(0, c)$ से परवलय $y = x^2$ की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ $ \frac{1}{2}$ $ \leq $ c $ \leq $ 5 है।
Answerमान लीजिए परवलय $y = x^2$ पर (h, k) कोई बिंदु है। मान लीजिए (h, k) और (0, c) के बीच दूरी D है। तब
D = $\sqrt{(h-0)^{2}+(k-c)^{2}}$ = $\sqrt{h^{2}+(k-c)^{2}}$ ...(1)
क्योंकि (h, k) परवलय $y = x^2$ पर स्थित है अतः $k = h^2$ है। इसलिए (1) से
D $ \equiv $ D(k) = $\sqrt{k+(k-c)^{2}}$
या D$^{\prime}$(k) = $\frac{1+2(k-c)}{\sqrt{k+(k-c)^{2}}} $
अब D$^{\prime}$(k) = 0 से k = $ \frac{2 c-1}{2}$ प्राप्त होता है
ध्यान दीजिए कि जब k < $\frac{2 c-1}{2}$, तब 2(k - c) + 1 < 0, अर्थात् D$^{\prime}$(k) < 0 है तथा जब k > $\frac{2 c-1}{2}$
तब 2(k - c) + 1 > 0 है अर्थात् D$^{\prime}$(k) > 0 (इस प्रकार प्रथम अवकलज परीक्षण से k = $\frac{2 c-1}{2}$ पर k निम्नतम है। अतः अभीष्ट न्यूनतम दूरी
D $\left(\frac{2 c-1}{2}\right)$ = $\sqrt{\frac{2 c-1}{2}+\left(\frac{2 c-1}{2}-c\right)^{2}}$ = $ \frac{\sqrt{4 c-1}}{2}$ है।
View full question & answer→Question 573 Marks
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम हो।
Answerमान लीजिए पहली संख्या x है तब दूसरी संख्या $15 - x$ है। मान लीजिए इन संख्याओं के वर्गों का योग $S(x)$ से व्यक्त होता है।
तब $S(x) = x^2+ (15 - x)^2 = 2x^2 - 30x + 225$
या $ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{S}^{\prime}(x)=4 x-30 \\ \mathrm{~S}^{\prime \prime}(x)=4 \end{array}\right.$
अब $S^{\prime}(x) = 0$ से $x = \frac{15}{2}$ प्राप्त होता है तथा $S^{\prime \prime} \left(\frac{15}{2}\right) = 4 > 0$ है।
इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा $S$ के स्थानीय निम्नतम का बिंदु $x = \frac{15}{2}$ है।
अतः जब संख्याएँ $ \frac{15}{2}$ और $ 15 -\frac{15}{2} = \frac{15}{2}$ हो तो संख्याओं के वर्गों का योग निम्नतम होगा।
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$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन f के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ पर $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$
या 
अब f$^{\prime}$(x) = 0 से $x = - 1$ प्राप्त होता है। तथा f$^{\prime \prime}$(1) = 0 है। इसलिए यहाँ द्वितीय अवकलज परीक्षण असफल है। अतः हम प्रथम अवकलज परीक्षण की ओर वापस जाएँगे। View full question & answer→Question 593 Marks
$f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2+ 12$ द्वारा प्रदत्त फलन f के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Answer
यहाँ
$f(x) = 3x^4+ 4x^3 - 12x^2 + 12$
या $f^{\prime}(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x - 1)(x + 2)$
या $x = 0, x = 1$ और $x = - 2$ पर $f^{\prime}(x) = 0$ है।
अब $f^{\prime \prime}(x) = 36x^2 + 24x - 24 = 12(3x^2+ 2x - 2)$
अतः 
इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा $x = 0$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है और f का स्थानीय उच्चतम मान $f(0) = 12$ है। जबकि $x = 1$ और $x = - 2$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 7$ और $f(- 2) = - 20$ है। View full question & answer→Question 603 Marks
f(x) = 3 + |x|, x $\in $ R द्वारा प्रदत्त फलन f का स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Answerध्यान दीजिए कि दिया गया x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार द्वितीय अवकलज परीक्षण असफल हो जाता है। अब हम प्रथम अवकलज परीक्षण करते हैं। नोट कीजिए कि 0 फलन f का एक क्रांतिक बिंदु है। अब 0 के बायों ओर, f(x) = 3 - x और इसलिए f$^{\prime}$(x) = - 1 < 0 है साथ ही 0 के दायीं ओर, f(x) = 3 + x है और इसलिए f$^{\prime}$(x) = 1 > 0 है। अतएव, प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा x = 0, f का स्थानीय निम्नतम बिंदु है तथा f का स्थानीय न्यूनतम मान f(0) = 3 है।
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$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन f के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ
$f(x) = 2x^3 - 6x^3 + 6x + 5$
या $f^{\prime}(x) = 6x^2- 12x + 6 = 6(x - 1)^2$
या $f^{\prime}(x) = 0 \Rightarrow x = 1$
इस प्रकार केवल x = 1 ही f का क्रांतिक बिंदु है। अब हम इस बिंदु पर f के स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम के लिए परीक्षण करेंगे। देखिए कि सभी x $\in $ R के लिए f$^{\prime}$(x) $\geq$ 0 और विशेष रूप से 1 के समीप और 1 के बायीं ओर और दायीं ओर के मानों के लिए f$^{\prime}$(x) > 0 है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण से बिंदु x = 1 न तो स्थानीय उच्चतम का बिंदु है और न ही स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। अतः x = 1 एक नति परिवर्तन (inflection) बिंदु है।
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$f(x) = x^3 - 3x + 3$ द्वारा प्रदत्त फलन के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $f(x) = x^3- 3x + 3$
या $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1) (x + 1)$
या $f^{\prime}(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ और $ x = - 1$
इस प्रकार, केवल $x = \pm 1$ ही ऐसे क्रांतिक बिंदु हैं जो f के स्थानीय उच्चतम और/या स्थानीय निम्नतम संभावित बिंदु हो सकते हैं। पहले हम $x = 1$ पर परीक्षण करते हैं।
ध्यान दीजिए कि $1$ के निकट और $1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ है और 1 के निकट और $1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = 1,$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1$ है।
$x = - 1$ की दशा में, $- 1$ के निकट और $- 1$ के बायीं ओर $f^{\prime}(x) > 0$ और $- 1$ के निकट और $- 1$ के दायीं ओर $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा $x = - 1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है और स्थानीय उच्चतम मान $f(- 1) = 5$ है।
| $x$ के मान |
$f^{\prime}(x) = 3(x -1)(x + 1)$ का चिह्न |
$1$के निकट  |
$>0$
$<0$ |
$- 1$के निकट  |
$>0$
$<0$ |
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$f(x) = x, x \in (0, 1)$ द्वारा प्रदत्त फलन के उच्चतम और निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए।
Answer
दिए अंतराल (0, 1) में दिया फलन एक निरंतर वर्धमान फलन है। फलन f के आलेख से ऐसा प्रतीत होता है कि फलन का निम्नतम मान 0 के दायीं ओर के निकटतम बिंदु और उच्चतम मान 1 के बायीं ओर के निकटतम बिंदु पर होना चाहिए। क्या ऐसे बिंदु उपलब्ध हैं? ऐसे बिंदुओं को अंकित करना संभव नहीं है। वास्तव में, यदि 0 का निकटतम बिंदु $x_0$ हो तो $\frac{x_{0}}{2} < x_0$ सभी $x_0 \in$ (0, 1) के लिए और यदि 1 का निकटतम बिंदु $x_1$ हो तो सभी $x_1 \in$ (0, 1) के लिए $\frac{x_{1}+1}{2} > x_1$ है। इसलिए दिए गए फलन का अंतराल (0, 1) में न तो कोई उच्चतम मान है और न ही कोई निम्नतम मान है। View full question & answer→Question 643 Marks
f(x) = |x|, x $\in$ R द्वारा प्रदत्त फलन f के उच्चतम और निम्नतम मान, यदि कोई हो तो, ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए फलन के आलेख से f(x) $\geq $ 0, सभी x $\in$ R और f(x) = 0 यदि x = 0 है। इसलिए, f का निम्नतम मान 0 है और f के निम्नतम मान का बिंदु x = 0 है। और आलेख से यह भी स्पष्ट है R में f का कोई उच्चतम मान नहीं है। अतः R में कोई उच्चतम मान का बिंदु नहीं है।
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$f(x) = x^2, x \in$ R से प्रदत्त फलन f के उच्चतम और निम्नतम मान, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए फलन के आलेख से हम कह सकते हैं कि $f(x) = 0$ यदि $x = 0$ है और f(x) $\geq$ 0, सभी x $\in$ R के लिए।
इसलिए, f का निम्नतम मान 0 है और f के निम्नतम मान का बिंदु $x = 0$ है। इसके अतिरिक्त आलेख से यह भी देखा जा सकता है कि फलन f का कोई उच्चतम मान नहीं है, अतः R में f के उच्चतम मान का बिंदु नहीं है।
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एक गोले की त्रिज्या 9 cm मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि गोले की त्रिज्या r है और इसके मापन में त्रुटि $\Delta$r है। इस प्रकार r = 9 cm और $\Delta$r = 0.03 cm है। अब गोले का आयतन V
V = $ \frac{4}{3} $$\pi r^{3}$ से प्रदत्त है।
या $ \frac{d \mathrm{~V}}{d r}$ = 4$\pi r^{2}$
इसलिए dV = $\left(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\right) $ $\Delta$r = $ \left(4 \pi r^{2}\right)$ $\Delta$r
= $ \left[4 \pi(9)^{2}\right]$(0.03) = 9.72$ \pi \mathrm{cm}^{3}$
अतः आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 9.72 $ \pi \mathrm{cm}^{3}$ है।
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वक्र y = $\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ ज्ञात कीजिए जहाँ यह x-अक्ष को काटती है।
Answerध्यान दीजिए कि x-अक्ष पर y = 0 होता है। इसलिए जब y = 0 तब वक्र के समीकरण से x = 7 प्राप्त होता है। इस प्रकार वक्र x-अक्ष को (7, 0) पर काटता है। अब वक्र के समीकरण को x के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{1-y(2 x-5)}{(x-2)(x-3)}$
या $\left.\frac{d y}{d x}\right]_{(7,0)} $ = $\frac{1-0}{(5)(4)}$ = $ \frac{1}{20} $ प्राप्त होता है।
इसलिए, स्पर्श रेखा की (7, 0) पर प्रवणता $\frac{1}{20}$ है। अतः (7, 0) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
y - 0 = $\frac{1}{20}$ (x - 7) या 20y - x + 7 = 0 है।
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प्रवणता $2$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $ y + \frac{2}{(x-3)} = 0$ को स्पर्श करती है।
Answerदिए वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{(x-3)^{2}}$ है।
क्योंकि प्रवणता $2$ दिया गया है इसलिए,
$\frac{2}{(x-3)^{2}} = 2$
या $(x - 3)^2 = 1$
या $x - 3 = \pm 1$
या $x = 2, 4$
अब $x = 2$ से $y = 2$ और $x = 4$ से $y = - 2$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, दिए वक्र की प्रवणता $2$ वाली दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो क्रमशः बिंदुओं $(2, 2)$ और $(4, -2)$ से जाती है। अतः $(2, 2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 2 = 2(x - 2)$ है।
या $y - 2x + 2 = 0$
या तथा $(4, -2)$ से जाने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
$y - (- 2) = 2(x - 4)$
$y - 2x + 10 = 0$ है।
View full question & answer→Question 693 Marks
वक्र y = $\sqrt{4 x-3}-1$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2}{3}$ है।
Answerदिए गए वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $ \frac{d y}{d x}$ = $\frac{1}{2}$(4x - 3)$^{\frac{-1}{2}} $$\cdot$ 4 = $\frac{2}{\sqrt{4 x-3}}$ है।
क्योंकि प्रवणता $\frac{2}{3}$ दिया है। इसलिए
$\frac{2}{\sqrt{4 x-3}} $ = $ \frac{2}{3} $
या 4x - 3 = 9
या x = 3
अब y = $\sqrt{4 x-3}-1$ है। इसलिए जब x = 3, y = $\sqrt{4(3)-3}-1$ = 2 है। इसलिए, अभिष्ट बिंदु (3, 2) है।
View full question & answer→Question 703 Marks
$x = 2$ पर वक्र $y = x^3- x$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answerदिए वक्र की $x = 2$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
$ \left.\left.\frac{d y}{d x}\right]_{x=2}=3 x^{2}-1\right]_{x=2}= 11$ है।
View full question & answer→Question 713 Marks
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें प्रदत्त फलन f(x) = sin 3x, x $\in$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में
- वर्धमान है।
- हासमान है।
Answer
ज्ञात है कि
f(x) = sin 3x
या f$^{\prime}$(x) = 3 cos 3x
इसलिए, f'(x) = 0 से मिलता है cos 3x = 0 जिससे 3x = $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3 \pi}{2}$ (क्योंकि x $ \in$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ $\Rightarrow$ 3x $ \in$ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$) प्राप्त होता है। इसलिए, x = $ \frac{\pi}{6}$ और $ \frac{\pi}{2}$ है। अब बिंदु x = $\frac{\pi}{6}$, अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$को दो असंयुक्त अंतरालों $ \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$और $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ में विभाजित करता है।
पुनः सभी x $ \in$ $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ के लिए f$^{\prime}$(x) > 0 क्योंकि 0 $\leq$ x < $\frac{\pi}{6}$ $ \Rightarrow$ 0 $\leq$ 3 x <$ \frac{\pi}{2}$ और सभी x $ \in$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए f$^{\prime}$(x) < 0 क्योंकि $\frac{\pi}{6}$ < x $\leq$ $\frac{\pi}{2}$ $ \Rightarrow$ $ \frac{\pi}{2}$ < 3x $\leq $ $ \frac{3 \pi}{2}$
इसलिए, अंतराल $ \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ में f वर्धमान है और अंतराल $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ में हासमान है। इसके अतिरिक्त दिया गया फलन x = 0 तथा x = $\frac{\pi}{6}$ पर संतत भी है। इसलिए प्रमेय 1 के द्वारा, f, $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$ में वर्धमान और $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ में ह्गसमान है।
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वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 4x^3- 6x^2- 72x + 30$ द्वारा प्रदत्त फलन $f, (a)$ वर्धमान $(b)$ हासमान है।
Answerयहाँ $f(x) = 4x^3- 6x^2- 72x + 30$
या $f^{\prime}(x) = 12x^2- 12x - 72$
$= 12(x^2- x - 6)$
$= 12(x - 3)(x + 2)$
इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$ से $x = -2, 3$ प्राप्त होते हैं। $x = -2$ और $x = 3$ वास्तविक रेखा को तीन असंयुक्त अंतरालों, नामतः $(- \infty,-2),(-2,3)$ और $(3, \infty)$ में विभक्त करता है । अंतरालों $(-\infty,-2)$ और $(3,\infty)$ में $f^{\prime}(x)$ धनात्मक है जबकि अंतराल $(-2,3)$ में $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक है। फलस्वरूप फलन f अंतरालों $(-\infty,-2$) और $(3,\infty)$ में वर्धमान है जबकि अंतराल $(- 2,3)$ में फलन ह्यसमान है। तथापि $f, R$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्यासमान है।
| अंतराल |
$f^{\prime}(x)$ का चिह्न |
फलन $f$ की प्रकृति |
| $(-\infty ,-2)$ |
$(-)(-) > 0$ |
$f$ वर्धमान है |
| $(-2, 3)$ |
$(-)(+) < 0$ |
$f$ ह्रासमान है |
| $(3, \infty)$ |
$(+)(+) > 0$ |
$f$ वर्धमान है |
View full question & answer→Question 733 Marks
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = x^2- 4x + 6$ से प्रदत्त फलन f
- वर्धमान है
- हासमान है
Answerयहाँ $f(x) = x^2- 4x + 6$
या f$^{\prime}$(x) = 2x - 4
इसलिए, f$^{\prime}$(x) = 0 से x = 2 प्राप्त होता है। अब बिंदु x = 2 वास्तविक रेखा को दो असंयुक्त अंतरालों, नामतः ($-\infty$, 2) और (2, -$\infty$) में विभक्त करता है। अंतराल (-$\infty$, 2) में f$^{\prime}$(x) = 2x - 4 < 0 है।
इसलिए, इस अंतराल में, f ह्यसमान है। अंतराल (2, $\infty$), में f$^{\prime}$(x) > 0 है, इसलिए इस अंतराल में फलन f वर्धमान है। View full question & answer→