प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

Question 12 Marks

निम्न अवकल समीकरण के लिये इसकी कोटि व घात का योगफल ज्ञात कीजिये : $y=x\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\frac{d^2 y}{d x^2}$

Answer

इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है। इसलिये इसकी कोटि 2 है। यह अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}$ एवं $\frac{d y}{d x}$ में बहुपद समीकरण है और $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की अधिकतम घातांक 1 है। इसलिये इस अवकलन समीकरण की घात 1 है अतः कोटि व घात का योग = 2 + 1 = 3

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Question 22 Marks

वक्र $y= A e^x+ B e^{-x}$ की अवकल समीकरण क्या होगी?

Answer

$y= A e^x+ B e^{-x}$
$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = A e^x- B e^{-x} \\ \therefore \frac{d^2 y}{d x^2} & = A e^x+ B e^{-x}=y\end{aligned}$
$\frac{d^2 y}{d x^2}=y$$\quad$

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Question 32 Marks

समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x$ का व्यापक हल लिखिए।

Answer

$P =\frac{1}{x}$
$\therefore$ I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{1}{x} d x}$
I.F. $=e^{\log x}=x$
$y \cdot$ I.F. $=\int( I . F . \times Q ) d x$
$y \times x=\int x \times x d x=\int x^2 d x$
$\Rightarrow x y=\frac{x^3}{3}+c$

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Question 42 Marks

हल कीजिए - $\frac{d y}{d x}=5 x+7$

Answer

$\frac{d y}{d x}=5 x+7$
$\therefore d y=(5 x+7) d x$
समाकलन करने पर $\int d y=\int(5 x+7)=\frac{5 x^2}{2}+7 x+ C$
$\therefore y=\frac{5}{2} x^2+7 x+ C$, जहाँ पर C समाकलन नियतांक है।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

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