प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

Question 11 Mark

$f(x)=2 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: N \rightarrow N$, दर्शाइए कि f(x) आच्छादक नहीं है।

Answer

f आच्छादक नहीं है $1 \in N$ (सहप्रान्त) के लिए प्रान्त N में किसी का अस्तित्व नहीं है ताकि f(x) = 2x हो जाए।

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Question 21 Mark

$f : R \rightarrow R , f (x)=\sin x$ तथा $g : R \rightarrow R , g (x)=x^2$ तो $gof (x)$ ज्ञात कीजिए।

Answer

स्वप्रयत्न

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Question 31 Mark

$f(x)=2 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f : N \rightarrow N$ दर्शाइए कि f(x) आच्छादक नहीं है।

Answer

स्वप्रयत्न

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Question 41 Mark

$f(x) = 2x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: A \rightarrow B$ एकैकी और आच्छादक दोनों है। यदि $A = \{1, 2, 3, 4\}$ है, तो समुच्चय $B$ ज्ञात कीजिए।

Answer

$f(x)=2 x$
$f(1)=2 \times 1=2$
$f(2)=2 \times 2=4$
$f(3)=2 \times 3=6$
$f(4)=2 \times 4=8$
$\therefore B=\{2,4,6,8\}$

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Question 51 Mark

सरल रेखाओं के समुच्चय में $x R y \Leftrightarrow x \perp y$ से परिभाषित सम्बन्ध क्या सममित है? यदि है, तो क्यों? कारण भी लिखिये ।

Answer

हाँ, क्योंकि यदि $x \perp y$ है तो $y \perp x$ अवश्य ही होगा, इसलिए x R y है तो y R x भी यहाँ पर है। इसलिए सम्बन्ध सममित है।

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Question 61 Mark

यदि किसी समतल में स्थित सरल रेखाओं के समुच्चय A में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि $x R y \Leftrightarrow x, y$ के समान्तर है तो R में कौन-कौन से सम्बन्ध होंगे?

Answer

R स्वतुल्य होगा क्योंकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समान्तर होती है। R सममित होगा क्योंकि x, y के समान्तर हो तो y भी x के समान्तर होगी।
R संक्रामक भी होगा क्योंकि $x\|y, y\| z \Leftrightarrow x \| z$ ही होगा।

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Question 71 Mark

क्या $f: Z \rightarrow Z, f(x)=x+5$ आच्छादक फलन है?

Answer

हाँ, यहाँ पर f, आच्छादक फलन है। क्योंकि f(Z) = f(Z) अर्थात् का परिसर = सहप्रान्त

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Question 81 Mark

क्या $f: R \rightarrow R , f(x)=\sin x$ एक बहु एकैकी फलन है?

Answer

$f: R \rightarrow R , f(x)=\sin x$ एक बहु एकैकी फलन है क्योंकि sin x एक आवर्ती फलन है अर्थात् एक से अधिक कोणों के लिये sin x का मान समान हो सकता है।

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Question 91 Mark

क्या $f: Z \rightarrow Z , f(x)=x^2$ एकैकी फलन है?

Answer

नहीं $f:$ Z $\rightarrow$ Z $f(x)=x^2$ एकैकी फलन नहीं है क्योंकि 3, $-3 \in Z$ ऐसे अवयव हैं कि $3 \neq-3$ लेकिन $f(-3)=f(3)=9$ अर्थात् - 3 तथा 3 का एक प्रतिबिम्ब 9 है।

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Question 101 Mark

क्या ऐसे सम्बन्ध हो सकते हैं जो सममित के साथ प्रतिसममित भी हों?

Answer

हाँ। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में "=" (बराबर) सम्बन्ध सममित भी है तथा प्रतिसममित भी।

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Question 111 Mark

पूर्णांकों के समुच्चय I में यदि एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि $x R y \Leftrightarrow x>y$ तो क्या R एक संक्रामक सम्बन्ध है? यदि हाँ, तो क्यों?

Answer

R एक संक्रामक सम्बन्ध है क्योंकि $x, y, z \in I$ तथा $x>y$ तथा $y>z$ तब $x>y>z$ से $x>z$ अर्थात् $(x, y) \in R, (y, z) \in R \Rightarrow(x, z) \in R \forall x, y, z \in I$

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Question 121 Mark

समुच्चयों के किसी समुच्चय S में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि $A R B \Leftrightarrow A , B$ का उपसमुच्चय है तो क्या सम्बन्ध R प्रतिसममित होगा?

Answer

R सम्बन्ध प्रतिसममित होगा क्योंकि किन्हीं दो समुच्चयों A व B के लिए $A \subseteq B$ तथा $B \subseteq A \Rightarrow A = B$

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Question 131 Mark

क्या त्रिभुजों के किसी समुच्चय में 'सर्वांगसम' सम्बन्ध स्वतुल्य है?

Answer

हाँ, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम होता है।

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Question 141 Mark

क्या संक्रामक सम्बन्ध में $x R y, y R z \Leftrightarrow x R z$ सत्य कथन है?

Answer

हाँ।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

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