प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे) - गणित कक्षा 10 Questions - Vidyadip

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प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

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Question 14 Marks

आकृति में $ABD$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा $AC \perp BD$ है। दर्शाइए कि $AB^{2 }= BC \cdot BD$

Answer

$\triangle BAC$ और $\triangle BDA$ में,
$\angle BAC =\angle BDA$
समकोण $\triangle ABC$ में,
$\angle BAC +\angle CBA = 90^\circ ..........(i)$
समकोण $\triangle ABD$ में,
$\angle BDA +\angle CBA = 90^\circ.........(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर
$\angle BAC =\angle BDA$
और,$\angle ACB =\angle DAB [$दोनों कोण $90^\circ$ हैं$]$
$\therefore \triangle \mathrm{BAC} \sim \triangle \mathrm{BDA}$
$\therefore \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$
$\Rightarrow BA^2= BC \cdot BD$
$\Rightarrow AB^2 = BC \cdot BD$

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Question 24 Marks

$PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा $QR$ पर बिंदु $M$ इस प्रकार स्थित है कि $PM \perp QR$ है। दर्शाइए कि $PM^2= QM \cdot MR$ है।

Answer

$\triangle PQR$ में
$\because \angle P = 90^\circ [$दिया है$]$
$\Rightarrow \angle 2+\angle 3 = 90^\circ ...(i)$
$\because \angle \mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}$
इसलिए,$\angle 1+\angle 2 = 90^\circ ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर
$\angle 1=\angle 3$
इस प्रकार, $\angle 4=\angle 2$
$\triangle PRM$ और $\triangle QPM$ में,
$\angle 1 = \angle 3$
और $\angle 2=\angle 4$
इसलिए,
$\triangle PRM \sim \triangle QPM$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{PM}}$
$\Rightarrow PM^{2 }= QM \times RM$

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Question 34 Marks

किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

Answer

$AB = AC [$समबाहु $\triangle$ है$]$
$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C} = 60^\circ [$उभयनिष्ट$]$
और$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}= 90^\circ$
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
$\Rightarrow BD = DC$
$\Rightarrow BD = DC = \frac{1}{2}BC$
समकोण$\triangle ABD$ में,
$AB^{2 }= AD^{2 }+ BD^2$
$\Rightarrow AB^{2 }= AD^{2 }+ \left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}$
$\Rightarrow AB^{2 }= AD^{2 }+\frac{1}{4}BC^2$
$\Rightarrow AB^{2 }=\frac{4 A D^{2}+B C^{2}}{4}$
$\Rightarrow 4AB^{2 }= 4AD^{2 }+ BC^2$
$\Rightarrow 4AB^{2 }- BC^{2 }= 4AD^2$
$\Rightarrow 4AB^{2 }- AB^{2 }= 4AD^2 [ \because AB = BC = AC]$
$\Rightarrow 3AB^{2 }= 4AD^2$

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Question 44 Marks

किसी समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ इस प्रकार स्थित है कि $BD =\frac{1}{3}BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $9\ AD^2= 7 AB^2 $ है।

Answer

समकोण $\triangle ABE$ और$ \triangle ACE$ में,
$AE = AE [$उभयनिष्ट$]$
$\angle AEB =\angle AEC [90^o]$
और $AB = AC$
$\triangle ABE \cong \triangle ACE$
$\Rightarrow BE = CE$
$\Rightarrow BE = CE =\frac{1}{2}BC$
समकोण $\triangle ADE$ में
$AD^{2 }= AE^{2 }+ DE^2$
$\Rightarrow AD^{2 }= AE^{2 }+ (BE - BD)^2$
$\Rightarrow \Rightarrow AD^{2 }= AE^{2 }+ BE^{2 }+ BD^{2 }- 2BD\cdot BE$
$\Rightarrow AD^{2 }= (AE^{2 }+ BE^2) + BD^{2 }- 2BD \cdot BE$
$[\because BD =\frac{1}{3}BC$ और $BE = CE =\frac{1}{2}BC]$
$\Rightarrow AD^{2 }= AB^2 + (\frac{1}{3} B C)^{2}-2 \times \frac{1}{3} B C \times \frac{1}{2} B C$
$\Rightarrow AD^{2 }= A B^{2}+\frac{1}{9} B C^{2}-\frac{B C^{2}}{3}$
$\Rightarrow AD^{2 }= \frac{9 A B^{2}+B C^{2}-3 B C^{2}}{9}$
$\Rightarrow 9AD^{2 }= 9AB^{2 }- 2BC^2$
और$ AB = BC = CA$
$\Rightarrow 9AD^{2 }= 9AB^{2 }- 2AB^2$
$\Rightarrow 9AD^{2 }= 7AB^2$

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Question 54 Marks

किसी त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A$ से $BC$ पर डाला गया लम्ब $BC$ को बिंदु $D$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $DB = 3\ CD$ है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि $2AB^{2 }= 2AC^{2 }+ BC^2$ है।

Answer

$\because DB = 3CD [$दिया है$]$
अब, $BC = CD + DB$
$\Rightarrow BC = CD + 3CD$
$\Rightarrow BC = 4CD$
$\Rightarrow CD =\frac{1}{4}BC$
समकोण $\triangle ADB$ में,
$AB^2= AD^2+ DB^2$
$\Rightarrow AB^2= AD^2+ (BC - CD)^2$
$\Rightarrow AB^2= AD^2+ BC^2+ CD^2- 2BC\cdot CD$
$\Rightarrow AB^2= AC^2+ BC^2- BC\cdot \frac{1}{4}BC$
$\Rightarrow AB^2= AC^2+ BC^2- \frac{B C^{2}}{2}$
$\Rightarrow AB^2= \frac{2 A C^{2}+2 B C^{2}-B C^{2}}{2}$
$\Rightarrow AB^2= \frac{2 A C^{2}+B C^{2}}{2}$
$\Rightarrow 2AB^2= 2AC^2+ BC^2$

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Question 64 Marks

सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

Answer

$\because$$\triangle$BCE और$\triangle$ACF समबाहु त्रिभुज हैं।
$\triangle \mathrm{BCE} \sim \triangle \mathrm{ACF}$
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BCE})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACF})}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}$
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BCE})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACF})}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{(\sqrt{2} \cdot \mathrm{BC})^{2}}$
[वर्ग के विकर्ण =$\sqrt{2}$$\times$ भुजा]
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BCE})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACF})}$ = $\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2 \mathrm{BC}^{2}}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ ar($\triangle$BCE) = $\frac {1}{2}$ar($\triangle$ACF)

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Question 74 Marks

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

Answer

$\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}$ ...(i)
$\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{E F}$ [$\because \triangle A B C \sim \triangle D E F$]
$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{2 \mathrm{BP}}{2 \mathrm{EQ}}$
$\Rightarrow \frac{A B}{D E}=\frac{B P}{E Q}$
$\triangle$ABP और$\triangle$DEQ
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}$
और$\angle B=\angle E$ [$\because \triangle A B C \sim \triangle D E F$]
इसलिए, SAS का उपयोग करके
$\triangle \mathrm{ABP} \sim \triangle \mathrm{DEQ}$
$\Rightarrow \frac{A B}{D E}=\frac{A P}{D Q}$
$\Rightarrow \frac{A B^{2}}{D E^{2}}=\frac{A P^{2}}{D Q^{2}}$ ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने पर
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\Delta D E F)}=\frac{A P^{2}}{D Q^{2}}$

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Question 84 Marks

एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E और F हैं।$\triangle$DEF और$\triangle$ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer

D, E तथा F; BC, AC तथा AB के मध्य बिंदु हैं, अत: DE||A B या EF||BC तथा FD||AC
ज्ञात करना है =$\frac{\operatorname{ar}(\triangle D E F)}{\operatorname{ar}(\triangle A B C)}$ = ?
और FE =$\frac{1}{2}$BC
$\Rightarrow$ FE||BD
और FE = BD [BDEF एक समचतुर्भुज है]
इसी प्रकार$\triangle$DEF और$\triangle$ABC में,
$\angle$DEF =$\angle$DBF [समचतुर्भुज के विपरीत कोण]
और$\angle$DFE =$\angle$DCE
$\triangle$DEF$\sim$$\triangle$ABC
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{DEF})}{\operatorname{ar}(\triangle\mathrm{ABC})}$ =$\frac{\mathrm{DE}^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{2} A B\right)^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}$
=$\frac{\frac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}=\frac{1}{4}$
अतः, $\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}=\frac{1}{4}$

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Question 94 Marks

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

Answer

$\triangle A B C \sim \triangle D E F$

$=\frac{A B^{2}}{D E^{2}}=\frac{A C^{2}}{D F^{2}}=\frac{B C^{2}}{E F^{2}}$
परन्तु क्षेत्रफल $(\triangle ABC) = $क्षेत्रफल$(\triangle DEF)$
$\Rightarrow 1 = \frac{A B^{2}}{D E^{2}}=\frac{A C^{2}}{D F^{2}}=\frac{B C^{2}}{E F^{2}}$
$\Rightarrow AB^2 = DE^2$
$AC^2 = DF^2$
और $BC^{2 }= EF^2$
$\Rightarrow AB = DE$
$AC = DF$
और $BC = EF$
$\triangle ABC$ और$\triangle DEF$ में,
$AB = DE$
$AC = DF$
और $BC = EF$
$\triangle A B C \cong \triangle D E F$

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Question 104 Marks

आकृति में एक ही आधार $BC$ पर दो त्रिभुज $ABC$ और $DBC$ बने हुए हैं। यदि $AD, BC$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि$\frac{\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\mathrm{DBC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$ है।

Answer

$A$ तथा $D$ से $BC$ पर लंब $AM$ और $DN$ खींचो।
$\triangle AMO$ और $\triangle DNO$ में,
$\angle AMO =\angle DNO (90^\circ)$
और $\angle AOM = DON$
$[$शीर्षभिमुख कोण$]$
$\triangle AMO \sim \triangle DNO$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}=\frac{A M}{\mathrm{DN}}$
अब, $ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times B C \times A M$
और $ar(\triangle BDC) = \frac{1}{2} \times B C \times D N$
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BDC})} = \frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}$
परन्तु $\frac{A M}{D N}=\frac{A O}{D O}$
अत: यह सिद्ध होता है कि
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BDC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$

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Question 114 Marks

एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer

$\triangle$AOB और$\triangle$COD में,
$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}$ [एकांतर कोण]
और $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$ [सम्मुख कोण]
$\triangle \mathrm{AOB} \sim \triangle \mathrm{COD}$

परन्तु AB = 2DC

अतः, क्षेत्रफल$\triangle$AOB : क्षेत्रफल$\triangle$COD = 4 : 1

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Question 124 Marks

मान लीजिए $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है और इनके क्षेत्रफल क्रमश: $64\ cm^2$ और $121\ cm^2$ हैं। यदि $EF = 15.4\ cm$ हो, तो $BC$ ज्ञात कीजिए।

Answer

$\because \triangle A B C \sim \triangle D E F$

अत:

$= \frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$
$\Rightarrow \frac{64}{121}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$
$\Rightarrow \left(\frac{8}{11}\right)^{2}=\left(\frac{B C}{15.4}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{8}{11}=\frac{B C}{15.4}$
$\Rightarrow BC = \frac{15.4 \times 8}{11} = 11.2\ cm$
अतः, $BC = 11.2\ cm$

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Question 134 Marks

आकृति में,$\triangle ABC$ के शीर्षलंब $AD$ और $CE$ परस्पर बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि: $\triangle AEP \sim \triangle CDP$

Answer

$\triangle ABC $ में, लम्ब $AD$ और $CE$ परस्पर $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Rightarrow \angle D =\angle E = 90^\circ... (i)$
$\triangle EAP$ और $\triangle CDP$ में,
$\angle AEP =\angle CDP ... [(i)$ से]
$\angle EPA =\angle DPC$
समरूपता की $AA$ कसौटी से,
$\triangle EAP \sim \triangle CDP$
$\triangle ABC$ में, लम्ब $AD$ और $CE$ परस्पर $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Rightarrow \angle D =\angle E = 90^\circ ... (i)$
$\triangle EAP$ और $\triangle CDP$ में,
$\angle AEP =\angle CDP ... [(i)$ से$]$
$\angle EPA =\angle DPC$
समरूपता की $AA$ कसौटी से,
$\triangle EAP \sim \triangle C D P$
$(ii)\triangle ADB$ और $\triangle CBE$ में,
$\angle ADB =\angle CEB$
$\angle ABD =\angle CBE$
$[(1)$ से$]$
$[$उभयनिष्ठ$]$
$\therefore$ समरूपता की $AA$ कसौटी से,
$\triangle ABD \sim \triangle CBE$
$(iii)\triangle AEP$ और $\triangle ADB$ में,
$\because \angle AEP =\angle ADB$
$[(1) $से$]$
और $\angle EAP =\angle DAB$
$\therefore$ समरूपता की $AA$ कसौटी से,
$[$उभयनिष्ठ$] (iv)\triangle PDC $ और $\triangle BCE$ में,
$\because \angle PDC =\angle BEC$
$[(1)$ से$]$
और$ \angle DCP =\angle ECB$
$[$उभयनिष्ठ$]$
$\therefore$ समरूपता की $AA$ कसौटी से,
$\triangle PDC \sim \triangle BEC$

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Question 144 Marks

आकृति में,$\triangle ODC \sim \triangle OBA, \angle BOC = 125^\circ$ और$\angle CDO = 70^\circ$ है। $\angle DOC, \angle DCO$ और $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए:

Answer

हल: हमें ज्ञात है कि
$\angle BOC = 125^\circ$ और $\angle CDO = 70^\circ$
चूँकि,
$\angle DOC +\angle BOC = 180^\circ ...[$रैखिक युग्म$]$
$\Rightarrow \angle DOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ ...(i)$
$\triangle DOC$ में त्रिभज के कोणों का योग $= 180^\circ$ का प्रयोग करने पर
$\angle DOC +\angle ODC +\angle DCO = 180^\circ$
$\Rightarrow 55^\circ + 70^\circ +\angle DCO = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle DCO = 180^\circ - 55^\circ - 70^\circ = 55^\circ ...(ii)$
पुनः,$\because \triangle ODC \sim \triangle OBA ...[$ज्ञात है$]$
$\therefore$ उनकी संगत कोण समान हैं
$\angle OCD =\angle OAB = 55^\circ ...(iii)$
इस प्रकार, $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,$\angle DOC = 55^\circ$ और $\angle OAB = 55^\circ$ तथा $\angle DCO = 55^\circ$

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Question 154 Marks

CD और GH क्रमश:$\angle$ACB और$\angle$EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश:$\triangle$ABC और$\triangle$FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं| यदि$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$FEG है, तो दर्शाइए कि:

$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$
$\triangle$DCB$\sim$$\triangle$HGE
$\triangle$DCA$\sim$$\triangle$HGF

Answer

$\triangle$ACD और$\triangle$FGH
$\angle$CAD =$\angle$GFH ... [$\therefore$$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$ FEG $\Rightarrow$ $\angle$A=$\angle$F]
चूंकि$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$FEG ... [ज्ञात है]
$\therefore$$\angle$C =$\angle$G ... (i)
$\Rightarrow$$\angle$ACD =$\angle$FGH ... (ii)
(i) और (ii) से
$\triangle$ACD$\sim$$\triangle$FGH ... [AA समरूपता ]
इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
$\therefore$ $\frac{{CD}}{{GH}}=\frac{{AC}}{{FG}}$
$\triangle$DCB और$\triangle$HGE में
$\angle$DBC =$\angle$HEG ... (i)
[$\because$$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$FEG $\Rightarrow$$\angle$B =$\angle$E]
पुन:$\triangle$ABC$\sim$ $\triangle$FEG
$\Rightarrow$$\angle$ACB =$\angle$FGE
$\therefore$$\frac{1}{2} {ACB} = \frac{1}{2} {FGE}$
$\Rightarrow$$\angle$DCB =$\angle$HGE ... (ii)
$\therefore$ (i) और (ii) से
$\triangle$DCB$\sim$$\triangle$HGE ... [AA समरूपता]
$\triangle$DCA और$\triangle$HGF में
$\angle$DAC =$\angle$HFG ... (i)
[$\because$$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$FEG
$\Rightarrow$$\angle$CAB =$\angle$GFE
$\Rightarrow$$\angle$CAD =$\angle$GFH
$\Rightarrow$$\angle$DAC =$\angle$HFG]
तथा$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$FEG
$\Rightarrow$$\angle$ACB =$\angle$FGE
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2} {ACB} = \frac{1}{2} {FGE}$
$\Rightarrow$$\angle$DCA = $\angle$HGF ... (ii)
$\therefore$ (i) और (ii) से
$\triangle$DCA$\sim$$\triangle$HGF [AA समरूपता]

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Question 164 Marks

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ हैं।

Answer

हमें ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || DC
$\because$ विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और यदि O से OE || AB या DC खींचने पर,
$\triangle$ADC में OE || DC [रचना द्वारा]
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{AE}}{{ED}}=\frac{{AO}}{{CO}}$ ... (i)
$\triangle$ABD में
OE || AB [रचना द्वारा]
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{ED}}{{AE}}=\frac{{DO}}{{BO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{AE}}{{ED}}=\frac{{BO}}{{DO}}$ ... (ii)
(i) और (ii) से
$\frac{{AE}}{{ED}}=\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}} \Rightarrow \frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$

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Question 174 Marks

प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

Answer

ज्ञात है कि$\triangle$ABC की भुजाओं AB और AC के मध्यबिन्दु क्रमशः D और E हैं।
$\therefore$ AD = BD ...(i)
और AE = CE ...(ii)
(i) और (ii) से,$\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AO}}{{CO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}}$
$\Rightarrow$ BO$\times$ CO = AO$\times$ DO
$\Rightarrow$$\frac{{CO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{{BO}}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$

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Question 184 Marks

थेल्स प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

Answer

हमें ज्ञात है कि एक$\triangle$ABC में भुजा AB का मध्य बिन्दु D तथा AC पर E इस प्रकार है कि

DE || BC
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से
$\frac{{AD}}{{DB}}=\frac{{AE}}{{EC}}$ ...(i)
परन्तु AB का मध्य बिन्दु D है।
$\therefore$ AD=DB
$\Rightarrow$ $\frac{{AD}}{{DB}}$ = 1 ...(ii)
(i) और (ii) से,
1 =$\frac{{AE}}{{EC}}$
$\Rightarrow$ EC = AE
$\Rightarrow$ E, भुजा AC का मध्यबिंदु है।
अत: उक्त से सिद्ध होता है कि एक त्रिभुज के मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

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Question 194 Marks

आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

Answer

$\triangle$POR में,
O एक बिन्दु है और OP, OQ तथा OR को मिलाया गया है। OP, OQ और OR पर क्रमशः A, B और C बिन्दु इस प्रकार हैं कि
AB || PQ और AC || PR
अब,$\triangle$OPQ में,
AB || PQ
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{OA}}{{AP}}=\frac{{OB}}{{BQ}}$ ...(i)
पुन:$\triangle$OPR, में AC || PR ... [ज्ञात है]
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{OA}}{{AP}}=\frac{{OC}}{{CR}}$ ...(ii)
(i) और (ii) से
$\frac{{OB}}{{BQ}}=\frac{{OA}}{{AP}}=\frac{{OC}}{{CR}}$
$\Rightarrow$ अब,$\triangle$OQR में
$\because$ B, भुजा OQ पर स्थित है तथा भुजा QR पर एक बिन्दु C स्थित है।
और$\frac{{OB}}{{BQ}}=\frac{{OC}}{{CR}}$ ...[ऊपर सिद्ध किया है]
अर्थात् B और C, भुजाओं OQ तथा OR को$\triangle$OQR में एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
$\therefore$ BC || QR

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Question 204 Marks

आकृति में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

Answer

$\triangle$PQO में,$\because$ DE || OQ ...[ ज्ञात है]
$\therefore$ मूलभूत-समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{PE}}{{EQ}}=\frac{{PD}}{{DO}}$
इसी प्रकार,$\triangle$POR में
DF || OR
$\therefore$$\frac{{PD}}{{DO}}=\frac{{PF}}{{FR}}$ ...(ii)
(i) और (ii) से,
$\frac{{PE}}{{EQ}}=\frac{{PD}}{{DO}}=\frac{{PF}}{{FR}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{PE}}{{EQ}}=\frac{{PF}}{{FR}}$
अब,$\triangle$PQR में,
$\because$ E और F क्रमशः भुजाओं PQ और PR पर स्थित है, तथा
$\frac{{PE}}{{EQ}}=\frac{{PF}}{{FR}}$
अर्थात् E और F भुजाओं PQ और PR को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
$\therefore$ EF || QR

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Question 214 Marks

आकृति में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$ है।

Answer

$\triangle$ ABC में, $\because$ DE || AC ...[ ज्ञात है।]
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$ ...(i)
$\triangle$ABE में,
$\because$ DF || AE ...[ ज्ञात है]
$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{BD}}{{DA}}=\frac{{BF}}{{EF}}$ ...(ii)
(i) और (ii) से,
$\frac{{BD}}{{DA}}=\frac{{BE}}{{EC}}$
$\therefore$ $\frac{{BD}}{{DA}}=\frac{{BF}}{{FC}}$$\Rightarrow$$\frac{{BF}}{{FC}}=\frac{{BE}}{{EC}}$

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Question 224 Marks

किसी$\triangle$PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF || QR है?
PE = 3.9 cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm और FR = 2.4 cm

Answer

चूंकि PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी. और FR = 2.4 सेमी.

$\therefore$ $\frac{{PE}}{{EQ}}$ = = $\frac{1.3}{1}$
और$\frac{{PF}}{{FR}}$ = = $\frac{1.5}{1}$
$\because$ $\frac{1.3}{1} \neq \frac{1.5}{1}$
$\therefore$ $\frac{{PE}}{{EQ}} \neq \frac{{PF}}{{FR}}$
$\Rightarrow$ EF भुजा QR के समान्तर नहीं है।

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Question 234 Marks

एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

Answer

हमें ज्ञात है कि समलम्ब ABCD में AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद इस प्रकार करते हैं कि:
$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$

अब,$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$ से हमें प्राप्त होता है कि
$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$
बिन्दु O से OE || DC या AB खींचो।
$\triangle$ADB में, मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{DE}}{{EA}}=\frac{{OD}}{{BO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{OD}}$ ... (i)
और$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$ ... [ज्ञात है] ... (ii)
(i) और (ii) से,
$\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}}$
अर्थात्$\triangle$ABC की भुजाओं AD और AC पर स्थित क्रमश: बिन्दु E और O, इन्हें एक ही अनुपात में बांटते हैं।
$\therefore$ OE || DC और OE || AB
$\Rightarrow$ AB || DC
अत: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।

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Question 244 Marks

आकृति (i) और (ii) में, DE || BC और (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

Answer

$\triangle$ABC में,
चूंकि DE || BC [ ज्ञात है]
$\therefore$ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{AD}}{{DB}}=\frac{{AE}}{{EC}}$
चूंकि AD = 1.5 सेमी., DB = 3 सेमी. और AE = 1 सेमी.
$\therefore$
वज्रगुणन से,
EC $\times$ 1.5 = 1 $\times$ 3
$\Rightarrow$ EC = $\frac{1 \times 3}{1.5}=\frac{1 \times 3 \times 10}{15}$
$\Rightarrow$ EC = 2 सेमी
$\triangle$ABC में, DE || BC
$\therefore$ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{AD}}{{DB}}=\frac{{AE}}{{EC}}$
चूंकि DB = 7.2 सेमी., AE = 1.8 सेमी. और EC = 5.4 सेमी.
$\therefore$ $\frac{{AD}}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}$
$\Rightarrow$ AD$\times$ 5.4 = 1.8$\times$ 7.2
[वज्रगुणन द्वारा]
$\Rightarrow$ AD = $\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$
= $\frac{18}{10} \times \frac{72}{10} \times \frac{10}{54}=\frac{24}{10}$ = 2.4
$\therefore$ AD = 2.4 सेमी.

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Question 254 Marks

आकृति में, रेखाखंड XY त्रिभुज ABC की भुजा AC के समांतर है तथा इस त्रिभुज को वह बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात$\frac{AX}{AB}$ ज्ञात कीजिए।

Answer

हल : हमें प्राप्त है: XY || AC ... (दिया है)
अत:$\angle$BXY = $\angle$A और$\angle$BYX =$\angle$C ... (संगत कोण)
इसलिए$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$XBY ... (AA समरूपता कसौटी)
अतः$\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\left(\frac{{AB}}{{XB}}\right)^{2}$ ... (i)
साथ ही ar(ABC) = 2ar(XBY) ... (दिया है)
अत: $\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\frac{2}{1}$ ... (ii)
इसलिए (i) और (ii) से
$\left(\frac{\mathrm{AB}}{{XB}}\right)^{2}=\frac{2}{1}$ =$\frac{2}{1}$, अर्थात्$\frac{{AB}}{{XB}}$ =$\frac{\sqrt{2}}{1}$ है।
या$\frac{{XB}}{{AB}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
या 1 -$\frac{{XB}}{{AB}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
या$\frac{{AB}-{XB}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$,
अर्थात्$\frac{{AX}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ है।

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Question 264 Marks

आकृति में CM और RN क्रमशः$\triangle$ABC और$\triangle$PQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि$\triangle$ABC$\sim$ $\triangle$PQR है तो सिद्ध कीजिए कि-

$\triangle$AMC$\sim$ $\triangle$PNR
$\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$
$\triangle$CMB$\sim$$\triangle$RNQ

Answer

$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR ... (दिया है)
अत:$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ... (i)
तथा$\angle$A =$\angle$P,$\angle$B =$\angle$Q और$\angle$C =$\angle$R ... (ii)
परंतु AB = 2 AM और PQ = 2 PN ... (क्योंकि CM और RN माध्यिकाएँ हैं)
इसलिए (i) से
$\frac{2 {AM}}{2 {PN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$
अर्थात $\frac{{AM}}{{PN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ...(iii)
साथ ही $\angle$MAC =$\angle$NPR ... [(ii) से] ... (iv)
इसलिए (iii) और (iv) से,
$\triangle$AMC$\sim$ $\triangle$PNR ... (SAS समरूपता) ... (v)
(v) से
$\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ... (vi)
परंतु $ \frac{{CA}}{{RP}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$ ... [(i) से] ... (vii)
अत: $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$ ... [(vi) और (vii)] ...(viii)
पुन:
$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ... [(i) से]
अतः $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ... [(viii) से] (ix)
साथ ही $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{2 {BM}}{2 {QN}}$
अर्थात $\frac{C M}{R N}=\frac{B M}{Q N}$ ...(x)
अर्थात $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{BM}}{{QN}}$ [(ix) और (x) से]
अत: $\triangle$CMB$\sim$$\triangle$RNQ ...(SSS समरूपता)

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Question 274 Marks

$90\ cm$ की लंबाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से परे $1.2\ m/s$ की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से $3.6\ cm$ की ऊँचाई पर है, तो $4$ सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए $AB$ बल्ब लगे खंभे को तथा $CD$ लड़की द्वारा खंभे के आधार से परे 4 सेकंड चलने के बाद उसकी स्थिति को प्रकट करते हैं (आकृति देखिए)।

आकृति से आप देख सकते हैं कि $DE$ लड़की की छाया की लंबाई है। मान लीजिए $DE, x\ m$ है।
अब, $BD = 1.2\ m \times 4 = 4.8\ m$
ध्यान दीजिए कि$\triangle$ABE और$\triangle$CDE में,
$\angle B = \angle D ($प्रत्येक $90^\circ$ का है, क्योंकि बल्ब लगा खंभा और लड़की दोनों ही भूमि से ऊर्ध्वाधर खड़े हैं$)$
तथा $\angle E = \angle E$
अत:$\triangle ABE \sim \triangle CDE ...(AA$ समरूपता कसौटी$)$
इसलिए $\frac{{BE}}{{DE}}=\frac{{AB}}{{CD}} ...($समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं$)$
अर्थात् $\frac{4.8+x}{x}=\frac{3.6}{0.9} ...(90\ cm = \frac{90}{100}\ m = 0.9\ m)$
अर्थात् $4.8 + x = 4x$
अर्थात् $3x = 4.8$
अर्थात् $x = 1.6$
अतः $4$ सेकंड चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई $1.6\ m$ है।

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Question 284 Marks

आयत $ABCD$ के अंदर स्थित $O$ कोई बिंदु है (आकृति देखिए)। सिद्ध कीजिए कि $OB^2 + OD^2 = OA^2 + OC^2$ है।

Answer

$O$ से होकर जाती हुई $PQ || BC$ खींचिए, जिससे कि $P$ भुजा $AB$ पर स्थित हो तथा $Q$ भुजा $DC$ पर स्थित हो।
अब $PQ || BC$ है
अत: $PQ\perp AB$ और $PQ \perp DC ( \angle B = 90^\circ$ और $\angle C = 90^\circ)$
इसलिए $\angle BPQ = 90\circ$ और$\angle CQP = 90^\circ$ है।
अत: $BPQC$ और $APQD$ दोनों आयत हैं।
अब $\triangle OPB$ से
इसी प्रकार$\triangle OQD$ से
$OB^2 = BP^2 + OP^2$
$OD^2 = OQ^2 + DQ^2$
तथा$\triangle OAP$ से हमें प्राप्त होता है
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$OA^2 = AP^2 + OP^2$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर
$OB^2 + OD^2 = BP^2 + OP^2 + OQ^2 + DQ^2$
$= CQ^2 + OP2 + OQ^2 + AP^2 ... ( $क्योंकि $BP = CQ$ और $DQ = AP$ है$)$
$= CQ^2 + OQ^2 + OP^2 + AP^2 = OC^2 + OA^2 [(iii)$ और $(iv)$ से$]$

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Question 294 Marks

$BL$ और $CM$ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ की माध्यिकाएँ हैं तथा इस त्रिभुज का कोण $A$ समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$

Answer

$BL$ और $CM$ एक$\triangle ABC$ की माध्यिकाएँ हैं; जिसमें$\angle A = 90^\circ$ है (आकृति देखिए)।

$\triangle ABC$ से
$BC^2 = AB^2 + AC^2 ... ($पाइथागोरस प्रमेय$) ... (i)$
$\triangle ABL$ से
$BL^2 = AL^2 + AB^2$
या$ BL^2 = \left(\frac{{AC}}{2}\right)^{2}+{AB}^{2} (AC$ का मध्य-बिंदु $L$ है$)$
या $BL^2 = \frac{{AC}^{2}}{4}+{AB}^{2}$
या $4BL^2 = AC^2 + 4AB^2 ... (ii)$
$\triangle CMA$ से
$CM^2 = AC^2 + AM^2$
या $CM^2 = AC^2 +\left(\frac{{AB}}{2}\right)^{2} (AB$ का मध्य बिंदु $M$ है$)$
या ${CM}^{2}={AC}^{2}+\frac{{AB}^{2}}{4}$
या $4CM^2 = 4AC^2 + AB^2 ... (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AC^2 + AB^2)$
या $4(BL^2 + CM^2) = 5BC [(i)$ से$]$

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Question 304 Marks

आकृति में $AD \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $AB^2 + CD^2 = BD^2 + AC^2$ है।

Answer

$\triangle ADC$ से हमें प्राप्त होता है:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 ... (i) ... ($पाइथागोरस प्रमेय$)$
$\triangle ADB$ से हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 = AD^2 + BD^2 ... (ii) ($पाइथागोरस प्रमेय$)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
या $AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$
$AB^2 + CD^2 = BD^2 + AC^2$

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Question 314 Marks

एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से $2.5\ m$ की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से $6\ m$ की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए $AB$ सीढ़ी है तथा $CA$ दीवार है जिसमें खिड़की $A$ पर है (आकृति देखिए)।
साथ ही
$BC = 2.5\ m$ और $CA = 6\ m$ है।

पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता है:
$AB^2 = BC^2 + CA^2$
$= (2.5)^2 + (6)^2$
$= 42.25$
अतः $AB = 6.5$
इस प्रकार, सीढ़ी की लंबाई $6.5\ m$ है।

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Question 324 Marks

आकृति में $\angle ACB = 90^\circ$ तथा $CD \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि$\frac{{BC}^{2}}{{AC}^{2}}=\frac{{BD}}{{AD}}$ है।

Answer

$\triangle ACD \sim \triangle ABC ... ($यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।$)$
अत: $\frac{{AC}}{{AB}}=\frac{{AD}}{{AC}}$
या $AC^2 = AB \cdot AD ... (i)$
इसी प्रकार $\triangle BCD \sim \triangle BAC ... ($यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों आर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।$)$
अतः $\frac{{BC}}{{BA}}=\frac{{BD}}{{BC}}$
या $ BC^2 =BA \cdot BD... (ii)$
अत: (i) और (ii) से
$\frac{{BC}^{2}}{{AC}^{2}}=\frac{{BA} \cdot {BD}}{{AB} \cdot {AD}}=\frac{{BD}}{{AD}}$

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