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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

त्रिभुज · UP Board (UPMSP) कक्षा 10 (UPMSP - हिन्दी माध्यम). 17 questions.

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

Take a timed test

17 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 12 Marks
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB||DC है तथा बिंदु P और Q क्रमशः AD और BC पर इस प्रकार स्थित हैं कि PQ||DC है। यदि PD = 18 cm, BQ = 35 cm और QC = 15 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।
Answer


BD को मिलाइए।
$\triangle$ABD में, OP||AB
आधार समानुपातिकता के प्रमेय से
$\frac{D P}{P A}=\frac{O D}{O B}$ ...(1)
$\triangle$BCD में, OQ||CD
आधार समानुपातिक प्रमेय से,
$\frac{B Q}{Q C}=\frac{O B}{O D}$ $\Rightarrow \frac{Q C}{B Q}=\frac{O D}{O B}$ ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\frac{D P}{P A}=\frac{Q C}{B Q}$
$\Rightarrow \frac{18}{A P}=\frac{15}{35}$
$\Rightarrow$ AP = $\frac{35}{15} \times 18$ = 42
अत:, AD = AP + DP = 42 + 18 = 60 cm

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Question 22 Marks

आकृति में, यदि DE||BC है, तो ar(ADE) और ar(DECB) का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer
$\triangle$ADE और $\triangle$ABC में,
$\angle$ADE = $\angle$ABC [संगत कोण]
$\angle$AED = $\angle$ACB [संगत कोण]
AA समरूपता से $\triangle$ADE $\sim$ $\triangle$ABC
इसलिए,
$\frac{\text { ar }(\triangle A D E)}{\text { ar}(\triangle A B C)}=\left(\frac{D E}{B C}\right)^{2}$ = $\left(\frac{6}{12}\right)^{2}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{\text { ar }(\triangle A D E)}{\text { ar}(\triangle A D E)+\text { ar }(\square B D E C)}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{\text {ar}(\triangle A D E)+\text {ar}(\square B D E C)}{\text {ar}(\triangle A D E)}$ = 4
$\Rightarrow$ ar($\triangle$ADE) + ar($\square$BDEC) = 4 ar($\triangle $ADE)
$\Rightarrow$ 3 ar($\triangle$ADE) = ar($\square$BDEC)
$\Rightarrow$ $\frac{\text { ar }(\triangle A D E)}{\text { ar }(\triangle B D E C)}=\frac{1}{3}$
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Question 32 Marks
यदि $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm और FD = 12 cm है, तो $\triangle$ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer
चूँकि $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$DEF हो,
तब $\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{E F}=\frac{A C}{D F}$
दिया है कि AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cmऔर FD = 12 cm. अतः,
$\frac{4}{6}=\frac{B C}{9}=\frac{A C}{12}$
$\Rightarrow$ BC = $\frac{4}{6} \times 9$ = 6
$\Rightarrow$ AC = $\frac{4}{6} \times 12$ = 8
अतः $\triangle$ABC का परिमाप = AB + BC + CA
= 4 + 6 + 8 = 18 cm
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Question 42 Marks
भुजा $8\ cm$ वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
Answer
मान लीजिए $LMN$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $8$ सेमी है
$LM = MN = NL = 8$ सेमी। (एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं)

$LD$ ऊँचाई खींचिए जो $MN$ पर लंबवत हो।
तब, $D, MN$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore$ MD = ND = $\frac {1}{2}$
$MN = \frac {8}{2} = 4$ सेमी.
अब, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
$LM^2 = LD^2 + MD^2$
$\Rightarrow (8)^2 = LD^2 + (4)^2$
$\Rightarrow 64 = LD^2 + 16$
$\Rightarrow LD =  \sqrt{48} = 4\sqrt3  cm$
इसलिए, एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई $4\sqrt 3 cm$ है।
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Question 52 Marks

आकृति में, यदि AB||DC तथा AC और PQ परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि OA$\cdot$CQ = OC$\cdot$AP है।

Answer
प्रश्न के अनुसार, हमें दिया गया है कि,
AB||DC

$\triangle$APO और $\triangle$CQO में, हमारे पास है,
$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$
$\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{Q}$ (वैकल्पिक आंतरिक कोण)
$\triangle \mathrm{APO} \sim \triangle \mathrm{CQO}$ (AA समानता)
$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{CQ}}$ $\Rightarrow$ OA $\times$ CQ = OC $\times$ AP
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Question 62 Marks
समलंब PQRS के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं, PQ||RS और PQ = 3 RS है। त्रिभुजों POQ और ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer
एक समलम्ब PQRS के विकर्ण एक दूसरे को O, PQ||RS और PQ = 3 RS पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें त्रिभुजों $\triangle$POQ और $\triangle$ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करना है।
दिया गया है: PQRS एक समलम्ब है जिसमें PQ||RS और PQ = 3RS है

ज्ञात करना है: $\frac{\operatorname{ar}(\Delta P O Q)}{\operatorname{ar}(\Delta R O S)}$
$\triangle$POQ और $\triangle$ROS में,
PQ||RS [दिया गया]
$\therefore \angle 3=\angle 1$ [वैकल्पिक आंतरिक $\angle S$]
$\angle 4=\angle 2$ [वैकल्पिक आंतरिक $\angle S$]
$\therefore \triangle \mathrm{POQ} \sim \triangle \mathrm{ROS}$ [AA समानता मानदंड द्वारा ]
तो, $\frac{\operatorname{ar}(\Delta P O Q)}{\operatorname{ar}(\Delta R O S)}=\left(\frac{P Q}{R S}\right)^{2}$ [क्षेत्र प्रमेय द्वारा]
लेकिन, PQ = 3RS [दिया गया]
$\Rightarrow \frac{\operatorname{ar}(\Delta P O Q)}{\operatorname{ar}(\Delta R O S)}$ = $\left(\frac{3 R S}{R S}\right)^{2}=\frac{9}{1}$
इसलिए, अभीष्ट अनुपात 9 : 1 है।
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Question 72 Marks

आकृति में, यदि $\angle 1=\angle 2$ और $\triangle$NSQ $\cong$ $\triangle$MTR है, तो सिद्ध कीजिए $\triangle$PTS $\sim$ $\triangle$PRQ है।

Answer
$\triangle N S Q \cong \triangle M T R$
$\therefore \angle S Q N = \angle T R M$
$\Rightarrow \angle \mathrm{Q}=\angle R$ ($\triangle$PQR में )
$\angle Q=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle P$
फिर से 1 = $\angle 2$ [$\triangle $PST में दिया है] (समद्विबाहु गुण)
$\therefore \angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle P\right)$
= $90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle P^{2}$
इस प्रकार, $\triangle$PTS और $\triangle$PRQ में
$\angle 1=\angle \mathrm{Q}$ [प्रत्येक = $90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle P$]
$\angle 2=\angle \mathrm{R}$, $ \angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{P}$
$\triangle \mathrm{PTS} \cong \triangle \mathrm{PRQ}$
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Question 82 Marks
$x$ का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए आकृति में, $DE||AB$ हो।
Answer
$\triangle ABC$ में, $DE||AB$
मूल आनुपातिकता सिद्धांत से,
$\frac { A D } { D C } = \frac { B E } { E C }$
$\Rightarrow \frac { 3 x + 19 } { x + 3 } = \frac { 3 x + 4 } { x }$
$\Rightarrow x(3x + 19) = (x+ 3) (3x + 4)$
$\Rightarrow 3x^2 + 19x = 3x^2 + 4x + 9x + 12$
$\Rightarrow 3x^2 - 3x^2 + 19x - 13x = 12$
$\Rightarrow 6x = 12$
$\Rightarrow x = \frac { 12 } { 6 }$
$\Rightarrow x = 2$
अत: $x$ का अभीष्ट मान $2$ है।
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Question 92 Marks
$10\ m$ लंबी एक सीढ़ी, जो एक उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $6\ m$ है। दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है।
Answer
दिया गया है,
मान लीजिए कि $PQ$ एक ऊर्ध्वाधर दीवार है और $PR = 10m$ एक सीढ़ी है। सीढ़ी का शीर्ष P तक पहुंचता है और सीढ़ी की दीवार $QR$ के आधार से दूरी $6$ मीटर है।

समकोण $\triangle PQR$ में,
$PR^2 = PQ^2 + QR^2 [$पाइथागोरस प्रमेय द्वारा$]$
$\Rightarrow (10)^2 = PQ^2 + (6)^2 \Rightarrow 100 = PQ^2 + 36$
$\Rightarrow PQ^2 = 100 - 36 = 64$
$\Rightarrow PQ = \sqrt{64} = 8 cm$
अतः दीवार पर उस बिंदु की ऊंचाई जहां सीढ़ी का शीर्ष पहुंचता है, $8$ सेमी है।
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Question 102 Marks
एक विशेष समय पर, $15$ मीटर ऊँची एक मीनार (टॉवर) की छाया की लंबाई $24$ मीटर है। उसी समय पर, एक टेलीफोन के खंभे की छाया की लंबाई $16$ मीटर है। टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer

$\triangle ABE $और $\triangle ACD$ में,
$\angle ABE = \angle ACD [90^o]$
$\angle E A B=\angle D A C [$उभयनिष्ठ कोण$]$
$AA$ समरूपता से, $\triangle ABE \sim \triangle ACD$
इसलिए,
$ \frac{A B}{A C}=\frac{B E}{C D}$
$\Rightarrow \frac{16}{24}=\frac{h}{15}$
$\Rightarrow h = 10$
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Question 112 Marks
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल $36\ cm^2$ और $100\ cm^2$ हैं। यदि बड़े त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई $20\ cm$ है, तो उस भुजा के संगत छोटे त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer
माना $\triangle ABC $और $\triangle DE$F दो समरूप त्रिभुज हैं।
$\frac{\text { ar }(\triangle A B C)}{\text ar(\triangle D E F)}=\left(\frac{A B}{D E}\right)^{2}$
तब,
$\frac{\text {ar}(\triangle A B C)}{\text { ar }(\triangle D E F)}=\left(\frac{A B}{D E}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{36}{100}=\left(\frac{x}{20}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{6}{10}=\frac{x}{20}$
$\Rightarrow x = 12$
अतः छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई $12\ cm$ है।
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Question 122 Marks
त्रिभुज $PQR$ में, भुजा $PR$ पर स्थित $N$ एक ऐसा बिंदु है कि $QN\perp PR$ है। यदि $PN \cdot NR = QN^2 $ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle PQR = 90^\circ $ है।
Answer

दिया है कि
$PN \times NR = QN^2 \Rightarrow \frac{P N}{Q N}=\frac{Q N}{N R}$
और,$ \angle PNQ = \angle QNR = 90^o$
$SAS$ समरूपता से,
$\triangle PNQ \sim \triangle QNR$
इसलिए,
$\angle P Q N=\angle Q R N$
$\triangle QNR$ में,
$\angle Q N R+\angle Q R N+\angle N Q R = 180^o$
$\Rightarrow 90^o + \angle P Q N+\angle N Q R = 180^o$
$\Rightarrow \angle P Q R = 180^o - 90^o$
$\Rightarrow \angle P Q R = 90^o$
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Question 132 Marks
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ $2 : 3$ के अनुपात में हैं। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $48\ cm^2$ है, तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
हम जानते हैं कि, यदि दो त्रिभुज समरूप हों, तो क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
चूँकि $\triangle ABC \sim \triangle DEF,$ इसलिए उपरोक्त प्रमेय से, हमें प्राप्त होता है,
$\frac { ar (\Delta ABC )} { \operatorname { ar } (\Delta DEF )} = \left(\frac { AB } { DE } \right) ^ { 2 }$
लेकिन, $AB : DE = 2 : 3 ($दिया गया है$)$
और $ar(\triangle ABC) ($छोटा$) = 48 cm^2$
$\therefore \frac{48}{\operatorname{ar}(\triangle D E F)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$
$\Rightarrow ar(\triangle DEF) = \frac { 48 \times 9 } { 4 } = 108 cm^2$​​​​​​​
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Question 142 Marks
$\triangle PQR$ मे, $PR^2- PQ^2= QR^2$  है तथा $M$ भुज $PR$ पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि $QM \perp PR$ है। सिद्ध कीजिए कि $QM^2= PM \times MR$ है।
Answer
दिया गया है: $PQR$ में,

$PR^2- PQ^2 = QR^2$ 
और $QM \perp PR$
साबित करने के लिए: $MQ^2 = MP \times MR$
प्रमाण:$ \triangle PQR$, में
$PR^2 - PQ^2 = QR^2 [$दिया गया$]$
$\Rightarrow PR^2 = PQ^2 + QR^2$ 
इसलिए $\angle PQR = 90^o [$रूपांतरण द्वारा। पाइथागोरस प्रमेय का$]$
अब $\triangle QMP$ और $\triangle QMR,$
 $\angle 1 = \angle 2 = 90^o $ में 
$\angle p = 90^o - \angle R$
$\angle 3 = 90^o - \angle R$
$\angle P = \angle 3$
$\therefore \triangle QMP \sim \triangle RMO [$द्वारा $AA$ समानता मानदंड$]$
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के
गुणधर्म द्वारा, $\frac{ar(\triangle QMR )}{ar(\triangle PMQ)}= \frac{QM^2}{PM^2}$ साथ ही
$\frac{\frac12\times MR \times QM }{\frac12 \times PM \times QM}= \frac{QM^2}{PM^2}$
$($त्रिकोण का क्षेत्रफल $= \frac {1}{2}$आधार \times ऊंचाई$)$
$\therefore \frac{MR}{ PM} = \frac{QM^2}{PM^2}$
$QM^2 \times PM = PM^2 \times MR$
$QM^2 = PM \times MR$
इसलिए सिद्ध हुआ।
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Question 152 Marks

आकृति में, $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ और $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}$ है। सिद्ध कीजिए कि BAC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Answer
$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}$ (दिया है)
अतः, DE||BC (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम)
अतः, $\angle {D}=\angle {B}$ और $\angle {E}=\angle {C}$ (संगत कोण) ...(1)
परंतु $\angle {D}=\angle {E}$ (दिया है)
अतः, $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$ ...[(1) से]
इसलिए, AB = AC (बराबर कोणों की सम्मुख भुजा।)
अर्थात BAC एक समद्विबाह त्रिभुज है
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Question 162 Marks
किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण $25\ cm$ है तथा शेष दो भुजाओं में से एक दूसरी से $5\ cm$ बड़ी है। अन्य दो भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
Answer
मान लीजिए कि एक भुजा $x\ cm$ है। तब, दूसरी भुजा $(x + 5)cm$ होगी।
अतः, पाइथागोरस प्रमेय से,
$x^2 + (x + 5)^2 = (25)^2$
या $x^2 + x^2 + 10x + 25 = 625$
या $x^2 + 5x - 300 = 0$
या $x^2 + 20x - 15x - 300 = 0$
या $x(x + 20) -15(x + 20) = 0$
या $ (x - 15) (x + 20) = 0$
अतः, $x = 15$ या $x = -20$
$x = -20$ को छोड़ने पर, हमें त्रिभुज की एक भुजा $15\ cm$ तथा दूसरी भुजा $(15 + 5) cm = 20\ cm$ प्राप्त होती है।
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Question 172 Marks
एक समकोण त्रिभुज के पैर $($कर्ण को छोड़ कर अन्य दो भुजाएँ$) 10\ cm$ और $8\ cm$ लंबाइयों के हैं। इस त्रिभुज के अंतर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बडे वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer
मान लीजिए कि $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें $\angle B$ समकोण है तथा $AB = 16\ cm$ और $BC = 8\ cm$ है इस त्रिभुज के अंतर्गत खींचे जा सकने वाला सबसे बडा वर्ग $BRSP$ होगा, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

मान लीजिए कि $PB = x\ cm$ है। अतः, $AP = (16 - x) cm$ है। $\triangle APS$ और $\triangle ABC$ मे, $\angle {A}=\angle {A}$ और $\angle APS = \angle ABC ($प्रत्येक $90^o)$
अतः,$ \triangle APS \sim \triangle ABC (AA$ समरूपता$)$
अतः, $\frac{{AP}}{{AB}}=\frac{{PS}}{{BC}}$
या $\frac{16-x}{16}=\frac{x}{8}$
या $128 - 8x = 16x$
या $x = \frac{128}{24}=\frac{16}{3}$
अतः, वाँछित वर्ग की भुजा की लंबाई $\frac{16}{3}cm$ है।
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