a > 1, ; _1^a [ x ]f' ( x )dx = - Vidyadip

MCQ

$a > 1,\;\mathop \smallint \limits_1^a \left[ x \right]f'\left( x \right)dx = $

A
$af\left( a \right) - \left\{ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .\;.\;.\; + f\left( {\left[ a \right]} \right)} \right\}$
B
$\;\left[ a \right]f\left( a \right) - \left\{ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .\;.\;.\; + f\left( {\left[ a \right]} \right)} \right\}$
C
$\;\left[ a \right]f\left( {\left[ a \right]} \right) - \left\{ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .\;.\;.\; + f\left( a \right)} \right\}$
D
$\;af\left( {\left[ a \right]} \right) - \left\{ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + .\;.\;.\; + f\left( a \right)} \right\}$

✓

Answer

$a=k+h$ where $k$ is an integer such that

$[a]=k$ and $0 \leq h<1$

$\therefore \int_{1}^{a}[x] f^{\prime}(x) d x=\int_{1}^{2} 1 f^{\prime}(x) d x \quad+\int_{2}^{3} 2 f^{\prime}(x) d x+\ldots . $$\int_{k-1}^{k}(k-1) d x+\int_{k}^{k+h} k f^{\prime}(x) d x$

$\{f(2)-f(2)\}+2\{f(3)-f(2)\}+3\{f(4)-f(3)\}+\ldots $$\ldots+(k-1)\{f(k)-f(k-1)+k\{f(k+h)-f(k)\}$

$=-f(1)-f(2)-f(3) \ldots \ldots-f(k)+k f(k+h)$

$=[a] f(a)-\{f(1)+f(2)+f(3)+\ldots \ldots \ldots f([a])\}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે , $\vec a = 3\hat i + 2\hat j + x\hat k$ અને $\vec b = \hat i - \hat j + \hat k$ આપેલ હોય તો $\left| {\vec a \times \vec b} \right| = r$ તો જ શક્ય છે જો . . . .

વિધેય $f : N \to N$ ; $f\left( x \right) = x - 5\left[ {\frac{x}{5}} \right]$ ,કે જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નો ગણ છે અને $[x]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે તો વિધેય . .. .

વિધેય $f(x) = - 4{e^{\left( {\frac{{1 - x}}{2}} \right)}} + 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3}$ અને $g(x)=f^{-1}(x) \,;$ હોય તો $g'(-\frac{7}{6})$ મેળવો.

$\sin \left[3 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right]$ નું મૂલ્ય._______છે.

એક પેટીમાં $ 15 $ લીલા અને $10 $ પીળા રંગના દડા છે. જો $10$ દડાઓ પુરવણી સહિત એક પછી એક યાર્દચ્છિક રીતે પસંદ કરાવામાં આવે છે , તો પસંદ થયેલ લીલા રંગના દડાની સંખ્યાનું વિચરણ . . . . છે.

જો $A$ અને $B$ એ $3\times3$ શ્રેણિક છે . જો $A$ એ સંમિત અને $B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક હોય તો $AB - BA$ એ . . ..

જો $x_{0}$ એ વિધેય $f(x)=\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}),$ ના સ્થાનીય મહત્તમ કિમત ધરાવતું બિંદુ છે જ્યાં $\vec{a}=x \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ $\overrightarrow{ b }=-2 \hat{ i }+ x \hat{ j }-\hat{ k }$ અને $\overrightarrow{ c }=7 \hat{ i }-2 \hat{ j }+ x \hat{ k } \cdot$ હોય તો $x=x_{0}$ આગળ $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ ની કિમત શોધો

જો $\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dx = 1} $ તો $\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx} $ મેળવો.

$\int\limits_{1/2}^2 {\frac{1}{x}} \sin \left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx = $

$X -$ અક્ષના અંતરાલ $\left[ { - \frac{{5\pi }}{6},\pi } \right]$ તથા વિધેય $y = \cos x$ અને રેખાના રેખાખંડો $x = - \frac{{5\pi }}{6}$ અને $x\,\, = \,\,\pi $ વડે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ $...... $ છે.