Download App
ધારો કે $ A$  એ વાસ્તવિક ઘટકો વાળો $2$$ \times $$2 $ શ્રેણિક છે. $I$ એ $2$$ \times $$2 $ એકમ શ્રેણિક છે. $A$ ના વિકર્ણીય ઘટકોનો સરવાળોને $tr$$A$ વડે દર્શાવાય તથા ${A^2} = I$ સ્વીકારી લો.

વિધાન $ 1: $ જો $A \ne I,A \ne - I$ તો $\det \left( A \right) = - 1$

વિધાન $2:$  જો $A \ne I,A \ne - I$ તો ${\rm{tr}}\left( A \right) \ne 0$

  • Aવિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
  • Bવિધાન $- 1$ ખોટું છે. વિધાન$- 2$ સાચું છે.
  • Cવિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
  • Dવિધાન $- 1$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ ખોટું છે.
AIEEE 2008,JEE MAIN 2013, Medium
Download our app for free and get startedPlay store
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]$

${A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]$

$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2} + bc}&{ab + bd}\\
{ac + cd}&{bc + {d^2}}
\end{array}} \right] = I$

${a^2} + bc = bc + {d^2} = 1$

$ac + cd = ab + bd = 0$

$ac + cd = ab + bd = 0$

$b\left( {a + d} \right) = 0$

$c = 0\;\:{\rm{or}}\;\:a =  - d$ not possible for $c$

$b = 0\;\:{\rm{or}}\;\:a =  - d$ not possible for $b$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right| = ad - bc =  - {d^2} - bc$

$ =  - \left( {{d^2} + bc} \right) =  - 1$

$tr\left( A \right) = a + d = a - a = 0$

art

Download our app
and get started for free

Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Download App

Similar Questions

  • 1
    જો $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - 1 - {\omega ^2}}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^4}}\end{array}\,} \right|= . . . $
    View Solution
  • 2
    અહી  $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ કક્ષા વાળા શૂન્યતર વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી  $AB$ એ શૂન્ય શ્રેણિક થાય છે તો 
    View Solution
  • 3
    જો ${a^{ - 1}} + {b^{ - 1}} + {c^{ - 1}} = 0$ આપેલ છે કે જેથી $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}\,} \right| = \lambda $, તો $\lambda $ ની કિમત મેળવો.
    View Solution
  • 4
    આપેલ સમીકરણની સંહતિ માટે 

    $x+y+z=6$

    $x+2 y+\alpha z=10$

    $x+3 y+5 z=\beta$, નીચે ના પૈકી ક્યૂ અસત્ય છે ?

    View Solution
  • 5
    જો $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - 1 - {\omega ^2}}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^4}}\end{array}\,} \right|= \ ....... . . $
    View Solution
  • 6
    જો $A$ એ $3 \times 3$ નો શ્રેણિક એવો છે કે જેથી $\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$ અને $B = adj ($ adj $A )$ તથા $| A |=\lambda$ અને $\left|\left( B ^{-1}\right)^{ T }\right|=\mu,$ હોય તો $(|\lambda|, \mu)$ ના જોડની કિમત શોધો.
    View Solution
  • 7
    શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&1\\2&1&0\\{ - 1}&0&1\end{array}} \right]$ ના વ્યસ્ત શ્રેણિકમાં બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક મેળવો.
    View Solution
  • 8
    જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    a&0&0\\
    0&a&0\\
    0&0&a
    \end{array}} \right]$ ; તો $|A| |adjA|$ મેળવો.
    View Solution
  • 9
    જો  $A\, = \,\left[ \begin{gathered} 1\ \ \ \,1\ \ \ \,2\ \ \  \hfill \\ 0\ \ \ \,2\ \ \ \,1\ \ \  \hfill \\ 1\ \ \ \,0\ \ \ \,2\ \ \  \hfill \\ 
    \end{gathered}  \right]$ અને $A^3 = (aA-I) (bA-I)$,કે જ્યાં $a, b$ એ પૃણાંક છે અને એકમ શ્રેણિક $I$ ની કક્ષા $3 \times 3$ હોય તો $(a + b)$ મેળવો.
    View Solution
  • 10
    સમીકરણો સંહતિ $x + 2y -3z = 1, (k + 3) z = 3, (2k + 1)x + z = 0$ એ સુસંગત ન હોય તો $k$ મેળવો.
    View Solution