दो रेडियो-सक्रिय पदार्थों $X _1$ और $X _2$ के क्षय नियतांक क्रमानुसार $5 \lambda$ और $\lambda$ हैं। यदि आरम्भ में उनके केन्द्रकों की संख्याएँ समान हों तो कितने समय पश्चात $X _1$ और $X _2$ में बचे केन्द्रकों का अनुपात $\frac{1}{ e }$ होगा?
[2008]
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माना की $t$ समय के बाद $X _1$ एवं $X _2$ के नाभिकों का अनुपात $\frac{1}{ e }$ हो जाता है। तब
$ N _1= N _0 e ^{-\lambda_1 t }$
$N _2= N _0 e ^{-\lambda_2 t } $
जहाँ,
$N _1= t$ समय के बाद $X _1$ में नाभिकों की संख्या
$N _2= t$ समय के बाद $X _2$ में नाभिकों की संख्या
$N _0= x _1$ की आरंभिक नाभिकों की संख्या $= x _2$ की आरंभिक नाभिकों की संख्या.
$ \text { अब, } \frac{ N _1}{ N _2}=\frac{ N _0 e ^{-\lambda_1 t }}{ N _0 e ^{-\lambda_2 t }}$
$\frac{1}{ e }=\frac{ e ^{-5 \lambda t }}{ e ^{-\lambda t }}\left[\because \frac{ N _1}{ N _2}=\frac{1}{ e }, \lambda_1=5 \lambda \lambda_2=\lambda \right]$
$e ^{-1}= e ^{-4 \lambda t }$
$\Rightarrow 4 \lambda t =1$
$\Rightarrow t =\frac{1}{4 \lambda} $
$ N _1= N _0 e ^{-\lambda_1 t }$
$N _2= N _0 e ^{-\lambda_2 t } $
जहाँ,
$N _1= t$ समय के बाद $X _1$ में नाभिकों की संख्या
$N _2= t$ समय के बाद $X _2$ में नाभिकों की संख्या
$N _0= x _1$ की आरंभिक नाभिकों की संख्या $= x _2$ की आरंभिक नाभिकों की संख्या.
$ \text { अब, } \frac{ N _1}{ N _2}=\frac{ N _0 e ^{-\lambda_1 t }}{ N _0 e ^{-\lambda_2 t }}$
$\frac{1}{ e }=\frac{ e ^{-5 \lambda t }}{ e ^{-\lambda t }}\left[\because \frac{ N _1}{ N _2}=\frac{1}{ e }, \lambda_1=5 \lambda \lambda_2=\lambda \right]$
$e ^{-1}= e ^{-4 \lambda t }$
$\Rightarrow 4 \lambda t =1$
$\Rightarrow t =\frac{1}{4 \lambda} $
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