\(\left(\rho \frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3\right) \mathrm{g}-\left(\rho_{\mathrm{L}} \frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3\right) \mathrm{g}-6 \pi \eta \mathrm{r}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\)

\(\text { Let } \frac{4}{3 \mathrm{~m}} \pi \mathrm{R}^3 \mathrm{~g}\left(\rho-\rho_{\mathrm{L}}\right)=\mathrm{K}_1 \text { and } \frac{6 \pi \eta \mathrm{r}}{\mathrm{m}}=\mathrm{K}_2\)

\(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{K}_1-\mathrm{K}_2 \mathrm{v}\)

\(\int_0^{\mathrm{v}} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{K}_1-\mathrm{K}_2 \mathrm{v}}=\int_0^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}\)

\(-\frac{1}{\mathrm{~K}_2} \ln \left[\mathrm{K}_1-\mathrm{K}_2 \mathrm{v}\right]_0^{\mathrm{v}}=\mathrm{t}\)

\(\ln \left(\frac{\mathrm{K}_1-\mathrm{K}_2 \mathrm{v}}{\mathrm{K}_1}\right)=-\mathrm{K}_2 \mathrm{t}\)

\(\mathrm{K}_1-\mathrm{K}_2 \mathrm{v}=\mathrm{K}_1 \mathrm{e}^{-\mathrm{K}_2 \mathrm{t}} \)

\(\mathrm{v}=\frac{\mathrm{K}_1}{\mathrm{~K}_2}\left[1-\mathrm{e}^{-\mathrm{K}_2 \mathrm{t}}\right]\)