એક $R$ ત્રિજ્યાના ગ્રહની ઘનતા તેના કેન્દ્રથી અંતર $r$ સાથે $\rho( r )=\rho_{0}\left(1-\frac{ r ^{2}}{ R ^{2}}\right) $ મુજબ બદલાય છે. તો કયા સ્થાને ગુરુત્વાકર્ષીક્ષેત્ર મહત્તમ હશે?
JEE MAIN 2020, Diffcult
Download our app for free and get started
b
\(E 4 \pi r ^{2}=\int \rho_{0} 4 \pi r ^{2} dr\)
\(E 4 \pi r ^{2}=\int \rho_{0} 4 \pi r ^{2} dr\)
\(\Rightarrow Er ^{2}=4 \pi G \int \limits_{0}^{ r } \rho_{0}\left(1-\frac{ r ^{2}}{ R ^{2}}\right) r ^{2} dr\)
\(\Rightarrow E =4 \pi G \rho_{0}\left(\frac{ r ^{3}}{3}-\frac{ r ^{5}}{5 R ^{2}}\right)\)
\(\frac{ d E }{ dr }=0 \therefore r =\sqrt{\frac{5}{9}} R\)
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વ પ્રવેગ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનાં ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો છે એન તેની ઘનતા પૃથ્વીની ઘનતા કરતાં $1.5$ ગણી છે, જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ હોય, તો ગ્રહની ત્રિજ્યા શું હશે ?View Solution
- 2એક કણને ગ્રહથી ખૂબ દૂરના અંતરથી છોડવામાં આવે છે એે તે ગ્રહ આગળ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે જ પહોંચે અને ગ્રહમાં એક ટનલ માંથી પસાર થાય છે. ગ્રહ પર પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v _{ e }$ હોય તો, ગ્રહના કેન્દ્ર પર કણની ઝડપ કેટલી હશે?View Solution
- 3વિષુવવૃત્ત પર એક માણસના હાલના વજન કરતાં $\frac{3}{5}$ માં ભાગનું વજન થવા માટે પૃથ્વીએે પોતાની ધરીની આસપાસ કેટલી કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરવું જોઈએ?View Solution
- 4$‘m’$ દળ ના પદાર્થ ની પૃથ્વીની સપાટી પરની ગુરુત્વસ્થિતિઉર્જા $ - mg{R_e}$ હોય તો પૃથ્વીની સપાટીથી ${R_e}$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વસ્થિતિઉર્જા કેટલી થશે? (જ્યાં ${R_e}$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે )View Solution
- 5$20 \,cm$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પર $100\,gm$ ના કણો મૂકેલા છે. હવે તેમની વચ્ચેનું અંતર અંનત કરવા કેટલું કાર્ય કરવું પડે?View Solution
- 6સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $R$ છે. જો સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $3R$ થાય તો એક એક વર્ષનો ગાળો કેટલો થાય $?$View Solution
- 7ચંદ્રની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં $1/4$ ગણી અને તેનું દળ પૃથ્વી નાં દળ કરતાં $1/80$ ગણું છે જો $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વ પ્રવેગ હોય તો ચંદ્ર ની સપાટી પર ગુરુત્વ પ્રવેગનું મુલ્ય કેટલું થાય?View Solution
- 8View Solutionભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે નીચેનામાથી શું સાચું છે.
- 9પૃથ્વીની અત્યારની ત્રિજ્યા $(R =6400\, km)$ ને સંકોચીને કેટલી કરવાથી પૃથ્વીની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $10$ ગણી થાય?View Solution
- 10View Solutionચંદ્ર ને પૃથ્વીના પ્ર્ક્ષિપ્ત ગુરુત્વાકર્ષણ માથી છટકી જવા તેના વેગમાં કેટલા ગણો વધારો કરવો પડે ?