फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x}$
Miscellaneous Exercise-21
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माना $I=\int \frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x} d x =\int\left(\frac{2}{1+\cos 2 x}+\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right) e^{x} d x$
$=\int\left(\frac{2}{2 \cos ^{2} x}+\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos ^{2} x}\right) \cdot e^{x} d x\ (\because 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ तथा $\sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan x\right)e^xdx = \int(\tan x + sec^2 x)e^{x }dx$
$f(x) = \tan x$ रखने पर,
$\Rightarrow f'(x) = sec^2x\ [\because\int[f(x) + f'(x)] e^{x }dx = e^xf(x) + C]$
$\therefore I = \tan x e^x + C$
$=\int\left(\frac{2}{2 \cos ^{2} x}+\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos ^{2} x}\right) \cdot e^{x} d x\ (\because 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ तथा $\sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan x\right)e^xdx = \int(\tan x + sec^2 x)e^{x }dx$
$f(x) = \tan x$ रखने पर,
$\Rightarrow f'(x) = sec^2x\ [\because\int[f(x) + f'(x)] e^{x }dx = e^xf(x) + C]$
$\therefore I = \tan x e^x + C$
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