फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}$
Miscellaneous Exercise-6
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$\int \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} d x$
माना $ \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+9}$
$\Rightarrow 5x = A(x^{2 }+ 9) + (Bx + C) (x + 1) $
$\Rightarrow 5x = Ax^2 + 9A + Bx^2 + Bx + Cx + C$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0, B + C = 5, 9A + C = 0$
समीकरणों को हल करने पर,
$A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$ तथा $C = \frac{9}{2}$
$\therefore \int \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} d x =\int \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)}{(x+1)} d x +\int \frac{\frac{1}{2} x+\frac{9}{2}}{x^{2}+9} d x$
$=-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x +\frac{1}{2} \int\left(\frac{x+9}{x^{2}+9}\right) d x$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2}+9} d x+\frac{9}{2} \int \frac{1}{x^{2}+9} d x$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{4} \log \left|x^{2}+9\right| +\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C $
$[\because \int\frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)]$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{4} \log \left|x^{2}+9\right| +\frac{3}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$
माना $ \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+9}$
$\Rightarrow 5x = A(x^{2 }+ 9) + (Bx + C) (x + 1) $
$\Rightarrow 5x = Ax^2 + 9A + Bx^2 + Bx + Cx + C$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0, B + C = 5, 9A + C = 0$
समीकरणों को हल करने पर,
$A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$ तथा $C = \frac{9}{2}$
$\therefore \int \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} d x =\int \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)}{(x+1)} d x +\int \frac{\frac{1}{2} x+\frac{9}{2}}{x^{2}+9} d x$
$=-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x +\frac{1}{2} \int\left(\frac{x+9}{x^{2}+9}\right) d x$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2}+9} d x+\frac{9}{2} \int \frac{1}{x^{2}+9} d x$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{4} \log \left|x^{2}+9\right| +\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C $
$[\because \int\frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)]$
$=-\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{1}{4} \log \left|x^{2}+9\right| +\frac{3}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$
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