फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x}$
Exercise-7.2-34
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$\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x $
$=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x \times \frac{\cos x}{\cos x}} d x\ (\frac{\cos x}{\cos x}= 1,$ हर में गुणा करने पर$)$
$= \in t \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cdot \cos ^{2} x} d x =\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \cdot \sec^2x dx$
माना $\tan x = t$
$\Rightarrow \sec^2x =\frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \cdot \sec^{2 }x dx =\int \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \sec ^{2} x \frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t =\int t^{-\frac1 2} d t =\frac{t^{-\frac1 2+1}}{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}+C$
$=2 \sqrt{t}+C =2 \sqrt{\tan x}+C$
$=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x \times \frac{\cos x}{\cos x}} d x\ (\frac{\cos x}{\cos x}= 1,$ हर में गुणा करने पर$)$
$= \in t \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cdot \cos ^{2} x} d x =\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \cdot \sec^2x dx$
माना $\tan x = t$
$\Rightarrow \sec^2x =\frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \cdot \sec^{2 }x dx =\int \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \sec ^{2} x \frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t =\int t^{-\frac1 2} d t =\frac{t^{-\frac1 2+1}}{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}+C$
$=2 \sqrt{t}+C =2 \sqrt{\tan x}+C$
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