फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\tan^3 2x sec 2x$
Exercise-7.3-15
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$\int \tan^3 2x \sec 2x dx$
माना $\sec 2x = t \Rightarrow 2 \sec 2x \tan 2x =\frac{dt}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$\therefore \int \tan^3 2x \sec 2x dx = \int \tan^3 2x \sec 2x \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$= \frac{1}{2} \int \tan^2 2x dt = \frac{1}{2}\int(\sec^2 2x - 1)dt (\because \tan^2 x = \sec^2 x - 1)$
$=\frac{1}{2} \int\left[\left(t^{2}-1\right) d t\right] =\frac{1}{2}\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right) + C$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\\sec ^{3} 2 x}{3}-\sec 2 x\right) + C$
$=\frac{1}{6} \sec ^{3} 2 x-\frac{1}{2} \sec 2 x + C$
माना $\sec 2x = t \Rightarrow 2 \sec 2x \tan 2x =\frac{dt}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$\therefore \int \tan^3 2x \sec 2x dx = \int \tan^3 2x \sec 2x \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$= \frac{1}{2} \int \tan^2 2x dt = \frac{1}{2}\int(\sec^2 2x - 1)dt (\because \tan^2 x = \sec^2 x - 1)$
$=\frac{1}{2} \int\left[\left(t^{2}-1\right) d t\right] =\frac{1}{2}\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right) + C$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\\sec ^{3} 2 x}{3}-\sec 2 x\right) + C$
$=\frac{1}{6} \sec ^{3} 2 x-\frac{1}{2} \sec 2 x + C$
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