$\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।
example-30
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मान लीजिए $t = \tan^{-1 }x,$ तब $dt = \frac{1}{1+x^{2}} d x$. जब $x = 0$ तो $t = 0$ और जब $x = 1$ तो $t = \frac{\pi}{4}$
अतः जैसे-जैसे $x, 0$ से $1$ तक परिवर्तित होता है वैसे$-$वैसे $t, 0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक परिवर्तित होता है।
इसलिए $\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t d t\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi^{2}}{16}-0\right] =\frac{\pi^{2}}{32}$
अतः जैसे-जैसे $x, 0$ से $1$ तक परिवर्तित होता है वैसे$-$वैसे $t, 0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक परिवर्तित होता है।
इसलिए $\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t d t\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi^{2}}{16}-0\right] =\frac{\pi^{2}}{32}$
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