i ( x - i x + i ) = . . . (x R) - Vidyadip

MCQ

$i\log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$ = . . . $(x \in R)$

A
$\pi + 2{\tan ^{ - 1}}x$
✓
$\pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$
C
$ - \pi + 2{\tan ^{ - 1}}x$
D
$ - \pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$

✓

Answer

Correct option: B.

$\pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$

b
(b)Let $z = \,i\log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$$ \Rightarrow \,\frac{z}{i} = \log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \,\left[ {\frac{{x - i}}{{x + i}} \times \frac{{x - i}}{{x - i}}} \right]$$ = \,\log \,\left[ {\frac{{{x^2} - 1 - 2ix}}{{{x^2} + 1}}} \right]$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} - i\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right]$ ......$(i)$

$\,\log (a + ib) = \log (r{e^{i\theta }}) = \log r + i\theta $= $\log \sqrt {{a^2} + {b^2}} + i{\tan ^{ - 1}}(b/a)$
Hence, $\frac{z}{i} = \log \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} + i{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} - 1}}} \right)$

[by eqn. $(i)$]

$\frac{z}{i} = \log \frac{{\sqrt {{x^4} + 1 - 2{x^2} + 4{x^2}} }}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}$ $ + i{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)$
$ = \log 1 + i\,(2{\tan ^{ - 1}}x)$$ = 0 + i\,(2{\tan ^{ - 1}}x)$
$\therefore z = {i^2}2{\tan ^{ - 1}}x = - 2{\tan ^{ - 1}}x$$ = \pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 4.1 complex nubers→4.1 complex nubers — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

સમીકરણ $|\cot x|=\cot x+\frac{1}{\sin x}$ ના અંતરાલ $[0,2 \pi]$ માં ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

કેટલાક યુગલ દંપતીઓએ મિકસડ ડબલ્સ બેડમિન્ટન હરીફાઈમાં ભાગ લીધો છે. જો કોઈ પણ યુગલ દંપતી સ્પર્ધામા ન રમ્યા હોય તેવી રમાયેલ સ્પર્ધાઓની સંખ્યા $840$ હોય, તો હરીફાઈમાં ભાગ લીધેલ કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $........$ છે.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\log (x - a)}}{{\log ({e^x} - {e^a})}} = . . .$

જો $A, B$ અને $C$ એ ત્રણ ગણ હોય તો $A \cap (B \cup C) = . . . $

રેખાઓ $x- \sqrt 3 y+5=0$ અને $\,y $-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો ....$^o$

જો $\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$ માં $x^7$ નો સહગુણક અને $\left(a x+\frac{1}{b x^2}\right)^{13}$ માં $x^{-5}$ નો સહગુણક સરખા હોય,તો $a^4 b^4=.........$

જો રેખાનો ઢાળ $2$ હોય અને તે $y -$ અક્ષ પર $- 4$ નો અંત: ખંડ કાપતી હોય, તો તેનું સમીકરણ :-

નિશ્રિત બિંદુ $\left( {2,3} \right)$ માંથી પસાર થતી રેખા યામાક્ષોને ભિન્ન બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $O$ એ ઊગમબિંદુ હોય અને લંબચોરસ $OPRQ$ ને પૂરો કરાવામાં આવે ,તો $R$ નો બિંદુપથ . . .. . છે.

જો ${\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha + K\,{\sin ^2}2\alpha = 1,$ તો $K =$

બે સમીકરણો $x^2 - 2ax + b^2 = 0$ અને $x^2 - 2bx + a^2 = 0$ લો. તો પ્રથમ સમીકરણના બીજનો સમાંતર મધ્યક કોના બરાબર હોય ?