_ ^ x^2 - 1 x^4 + x^2 + 1 dx = - Vidyadip

Question

$\int_{}^{} {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}dx} $ =

✓

Answer

b
(b) $I = \int_{}^{} {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \,dx$ $ = \int_{}^{} {\frac{{{x^2}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} \right]}}\,dx} $
$\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = t$ रखने पर $ \Rightarrow \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = dt$
$I = \int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\log \left| {\,\frac{{t - 1}}{{t + 1}}\,} \right| + c$
$\therefore $ $I = \frac{1}{2}\log \,\left| {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| + c$ ==> $a = \frac{1}{2},\,b = \frac{1}{2}$.

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माना कि $A_1, B_1, C_1, x y$-तल ( $x y$-plane) में स्थित तीन बिंदु हैं। मान लीजिये कि रेखाएं $A_1 C_1$ और $B_1 C_1$, वक्र (curve) $y^2=8 x$ के लिए क्रमश: $A_1$ और $B_1$ पर स्पर्श रेखाएं (tangents) हैं। यदि $O=(0,0)$ और $C_1=(-4,0)$, तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$(A)$ रेखाखंड (line segment) $O A_1$ की लंबाई $4 \sqrt{3}$ है

$(B)$ रेखाखंड $A_1 B_1$ की लंबाई $16$ है

$(C)$ त्रिभुज (triangle) $A_1 B_1 C_1$ का लंबकेंद्र (orthocenter) $(0,0)$ है

$(D)$ त्रिभुज $A_1 B_1 C_1$ का लंबकेंद्र $(1,0)$ है

दो बहुपद $p(x), q(x)$ इस प्रकार हैं: $p(x)=x^2-5 x+a$ और $q(x)=x^2-3 x+b$ जहां $a, b$ प्राकृत संख्याएँ हैं । मान लें कि $\operatorname{hcf}(p(x), q(x))=x-1$ और $k(x)=\operatorname{lcm}(p(x), q(x))$ है। यदि बहुपद $k(x)$ के अधिकतम घात के गुणांक का मान 1 है, तो बहुपद $(x-1)+k(x)$ के शून्यकों का योग होगा:

यदि $y = {(1 + x)^x},$ तो $\frac{{dy}}{{dx}} = $

यदि $U _{ n }=\left(1+\frac{1}{ n ^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{ n ^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{ n ^{2}}{ n ^{2}}\right)^{ n }$ है, तो $\lim _{ n \rightarrow \infty}\left( U _{ n }\right)^{\frac{-4}{ n ^{2}}}$ बराबर है

माना $S=\left\{z=x+i y: \frac{2 z-3 i}{4 z+2 i}\right.$ एक वास्तविक संख्या है $\}$ तो निम्न में कौन सा सही नहीं है ?

$\int_0^1 {\frac{{{x^7}}}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}dx} =$

$\int_0^{2/3} {\frac{{dx}}{{4 + 9{x^2}}} = } $

$4,\, 5, \,6,\, 7,\, 8$ से बनने वाली व $56000$ से बड़ी संख्याओं की संख्या है

युगल स्पर्श रेखायें मूल बिन्दु से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 20(x + y) + 20 = 0$ पर खींची गयी हैं। युगल स्पर्श रेखाओं का समीकरण है

यदि $\sqrt 3 \tan 2\theta + \sqrt 3 \tan 3\theta + \tan 2\theta \tan 3\theta = 1$, तो $\theta $ का व्यापक मान है