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STD 12 - 7.1 inderfinite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.1 inderfinite integral4 Marks
Question
$\int_{}^{} {\frac{{{x^{e - 1}} + {e^{x - 1}}}}{{{x^e} + {e^x}}}dx = } $
✓

Answer

c
(c) ${x^e} + {e^x} = t$  रखने पर $ e({x^{e - 1}} + {e^{x - 1}})\,dx = dt,$

अंतः $\int_{}^{} {\frac{{{x^{e - 1}} + {e^{x - 1}}}}{{{x^e} + {e^x}}}} \,dx = \frac{1}{e}\int_{}^{} {\frac{{dt}}{t}} = \frac{1}{e}\log t = \frac{1}{e}\log ({x^e} + {e^x}) + c$.

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माना कि $a, \lambda, \mu \in R$ है। इन रैखिक समीकरणों के निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए

$a x+2 y=\lambda$

$3 x-2 y=\mu$

निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

$(A)$ यदि $a=-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय के अनन्त (infinitely many) हल हैं

$(B)$ यदि $a \neq-3$, तब $\lambda$ और $\mu$ के सभी मानों के लिए निकाय का अद्वितीय (unique) हल है

$(C)$ यदि $\lambda+\mu=0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय के अनन्त हल हैं

$(D)$ यदि $\lambda+\mu \neq 0$, तब $a=-3$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है

→
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यदि फलन  $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(1+|\cos x|) \frac{\lambda}{|\cos x|} & , 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \mu & , x=\frac{\pi}{2} \\ e^{\frac{\cot 6 x}{\cot 4 x }} & , \frac{\pi}{2} < x < \pi\end{array}\right.$$\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}$ पर संतत है, तो $9 \lambda+6 \log _{\mathrm{e}} \mu+\mu^6-\mathrm{e}^{6 \lambda}$ बराबर है -
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