Download App

7.2 definite integral — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

Gujarat Boardગુજરાતી માધ્યમધોરણ 12 સાયન્સગણિત7.2 definite integral1 Mark
MCQ
$\int \limits_{-\log _{ e } 2}^{\log _e 2} e^x\left(\log _0\left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x=.........$
  • A
    $\log _{e}\left(\frac{2(2+\sqrt{5})}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
  • B
    $\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
  • C
    $\log _{e}\left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
  • D
    $\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
✓

Answer

$I=\int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x\left(\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x$

Put $e ^x=t \Rightarrow e^x d x=d t$

$I=\int \limits_{1 / 2}^2 \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) d t$

Applying integration by parts.

$=\left[t \ln \left( t +\sqrt{1+ t ^2}\right)\right]_{\frac{1}{2}}^2-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{ t +\sqrt{1+ t ^2}}\left(1+\frac{2 t }{2 \sqrt{1+ t ^2}}\right) d t$

$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{\sqrt{1+ t ^2}} dt$

$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

$=\ln \left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ પરના બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ નુ બિંદુ $P(1, 1,1.)$ થી અંતર $\sqrt 3$ હોય તો બિંદુઓ $A$ અને  $B$ વચ્ચેનુ અંતર મેળવો. 
→
$\int_{}^{} {{e^{ - 2x}}\sin 3x\;dx = } $
→
જો $\mathrm{y}=\frac{1}{a-\mathrm{z}}$, તો $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dz}}=\ldots \ldots \ldots .$.
→
જો સદિશો $a,\,b,\,c$ માટે $[a\,b\,c\,] = 4$ ,તો  $[a \times b\,\,b \times c\,\,c \times a]$ =
→
$\frac{{{x^2} - x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}$ નું  $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન મેળવો.
→
જે પરવલયની અક્ષ $X$-અક્ષ હોય તેના વિકલ સમીકરણની પરિમાણ અને કક્ષા મેળવો.
→
વિધેય 

$f\left( x \right) = \int_1^x {\left\{ {2\left( {t - 1} \right){{\left( {t - 2} \right)}^3} + 3{{\left( {t - 1} \right)}^2}{{\left( {t - 2} \right)}^2}} \right\}} dt$ એ $x$ ની કઇ કિમત આગળ મહત્તમ થાય ? 

→
અહી $A$ એ $2 \times 2$ કક્ષા વાળો શ્રેણિક છે કે જેથી $\operatorname{det}(A)=-1$ અને  $det(( A + I )(\operatorname{Adj}( A )+ I ))=4$ થાય છે. તો $A$ ના વિકર્ણના ઘટકોનો સરવાળો મેળવો.
→
In a box containing $100$ bulbs, $10$ are defective. The probability that out of a sample of $5$ bulbs, none is defective is
→
$\int_{}^{} {{{(\sec x + \tan x)}^2}dx = } $
→