_ - _ e 2 ^ _e 2 e^x ( _0 (e^x+ 1+e^ 2 x ) ) d x=......... - Vidyadip

MCQ

$\int \limits_{-\log _{ e } 2}^{\log _e 2} e^x\left(\log _0\left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x=.........$

A
$\log _{e}\left(\frac{2(2+\sqrt{5})}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$
B
$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
C
$\log _{e}\left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}$
✓
$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

✓

Answer

Correct option: D.

$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

d
$I=\int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x\left(\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right) d x$

Put $e ^x=t \Rightarrow e^x d x=d t$

$I=\int \limits_{1 / 2}^2 \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) d t$

Applying integration by parts.

$=\left[t \ln \left( t +\sqrt{1+ t ^2}\right)\right]_{\frac{1}{2}}^2-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{ t +\sqrt{1+ t ^2}}\left(1+\frac{2 t }{2 \sqrt{1+ t ^2}}\right) d t$

$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{ t }{\sqrt{1+ t ^2}} dt$

$=2 \ln (2+\sqrt{5})-\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

$=\ln \left(\frac{(2+\sqrt{5})^2}{\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$(1, -3, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો સદિશ યામાક્ષો સાથે સમાન માપના ખૂણા બનાવે તો તે રેખાનું સમીકરણ …………

વિધેય $f : R \to R$ એ $f(x) = (x - 1)\ (x - 2)(x - 3)$ હોય તો $. . ......$

જો $A=diag[a \ \ b \ \ c \ \ d],$ તો $A^n=.........,n\in N$

રેખાઓ $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$$\mathrm{L}_1$ અને $\mathrm{L}_2$ ને અનુક્રમે $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ અને આગળ છેદે છે. ને $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ રેખાખંડ $\mathrm{PQ}$ નું મધ્યબિંદુ હોય, તો $2(\alpha+\beta+\gamma)$ $=$____________.

જો $y \frac{d y}{d x}=x\left[\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{\phi\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}\right], x>0, \phi>0$ અને $y(1)=-1$ હોય તો $\phi\left(\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}\right)$ ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ $x\frac{{dy}}{{dx}} + 3y = x$ નો ઉકેલ મેળવો.

એક વાસણમાં રહેલ પાણીનું ધનફળ $V$ તથા તેની ઊંચાઈ $x$ વચ્યેનો સંબંધ $V =5 x -\frac{ x ^2}{6}$ છે. પાણીનું ધનફળ 5 સેમી³/સેકન્ડના દરથી વધતું હોય તો $x=2$ સેમી હોય ત્યારે પાણીની ઊંચાઈ વધવાનો દર........સેમી/સેકન્ડ થાય.

જો સુરેખ સમીકરણો $x - 2y + kz = 1$ ; $2x + y + z = 2$ ; $3x - y - kz = 3$ નો ઉકેલ $(x, y, z) \ne 0$, હોય તો $(x, y)$ એ . . . . રેખા પર આવેલ છે .

જો ગણ $A\,=\,\{\,x\,\in \,R\,:\,x$ એ ધન પૃણાંક નથી $\}$ પર વિધેય $f\,:\,A\,\to \,R$ એ $f\,(x)\, = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ આપેલ હોય તો $f$ એ . . .

જો $g(x) = \int_0^x {{{\cos }^4}t\,dt,} $ તો $g(x + \pi ) =. . .$