_0^1 e^ - x 1 + e^ - x ,dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_0^1 {\frac{{{e^{ - x}}}}{{1 + {e^{ - x}}}}} \,dx = $

A
$\log \left( {\frac{{1 + e}}{e}} \right) - \frac{1}{e} + 1$
✓
$\log \left( {\frac{{1 + e}}{{2e}}} \right) - \frac{1}{e} + 1$
C
$\log \left( {\frac{{1 + e}}{{2e}}} \right) + \frac{1}{e} - 1$
D
એકપણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: B.

$\log \left( {\frac{{1 + e}}{{2e}}} \right) - \frac{1}{e} + 1$

(b) Put $1 + {e^{ - x}} = t $

$\Rightarrow - {e^{ - x}}dx = dt$, then we have

$I = \int_2^{1 + \frac{1}{e}} {\frac{{(t - 1)( - dt)}}{t}} $

$= \int_2^{1 + \frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{t} - 1} \right)} \,dt$

$ = \left[ {{{\log }_e}t - t} \right]_2^{1 + \frac{1}{e}} $

$= {\log _e}\left( {1 + \frac{1}{e}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{e}} \right) - {\log _e}2 + 2$

$ = {\log _e}\left( {\frac{{e + 1}}{{2e}}} \right) - \frac{1}{e} + 1$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$\int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x - {x^2}}}{{3 - |x|}}\,dx} =$

જો $ A $ એ સામાન્ય શ્રેણિક હોય , તો $ A(adj A) =$

જો $f:R \to R$ ; $f(x) = \frac{{x - m}}{{x - n}}$, કે જ્યાં $m \ne n$ તો . . ..

$\tan \left[ {{{\sec }^{ - 1}}\sqrt {1 + {x^2}} } \right] = $

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\3&{ - 4}\end{array}} \right]$ અને $kA = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{3a}\\{2b}&{24}\end{array}} \right]$, તો $k, a, b$ ની કિમત અનુક્રમે . . . થાય.

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {ax + 1,{\rm{ if }}\,x\, \le \,3}\\ {bx + 3,{\rm{ if }}\,x\, > \,3} \end{array}} \right.$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોય, તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.

ધારો કે $\int_\alpha^{\log _e^4} \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1}}=\frac{\pi}{6}$. તો $\mathrm{e}^\alpha$ અને $\mathrm{e}^{-\alpha}$ એ સમીકરણ ............ ના બીજ છે.

બંને સદીશો $3i + 2j - k$ અને $12i + 5j - 5k$ ને લંબ હોય તેવો એકમ સદિશ મેળવો.

જો $A=\{1,2,3, \ldots . . . .100\}$. જો $R$ એ સંબંધ $A$ પર છે. તથા $(x, y) \in R$ થી વ્યાખાયિત છે, જો અને તો જ $2 x=3 y$. જો $R_1$ એ $A$ પર સંમિત સંબંધ હોય તો $R \subset$ $R_1$ અને $R_1$ ના ઘટકોની સંખ્યા $n$ છે. તો $n$ ની ન્યુનત્તમ કિંમત મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $\cos x\;dy = y\left( {\sin x - y} \right)dx,0 < x < \frac{\pi }{2}$ નો ઉકેલ મેળવો.