d
ધારો કે \(t\) એ ઈન્ડસ વેલી સભ્યતાનું આયુષ્ય છે.

ક્ષયનો દર એટલે કે \(R\) એ \(R \propto N\) અથવા \(R ={ \lambda }N\)

\(N = N_0e^{-\lambda t} \, ,R = {\lambda} N 0e^{-\lambda t}= R_0e^{-\lambda t}\)  જ્યાં \(R_0 = {\lambda} N_0\) પ્રારંભિક ક્ષય દર

આથી \(\,\frac{{{R_0}}}{R}\,\, = \,\,{e^{ - \lambda t}}\,\,.....\,\,(i)\,\,\)

તેથી \(\frac{R}{{{R_0}}}\, = \,\,\frac{9}{{15}}\, = \,\,\frac{3}{5}\,\,\,......\,\,(ii)\)

સમી \((I)\) અને \((II)\) પરથી, \(e^{-\lambda t}  = 3/5   ⇒  e^{\lambda t}   = 5/3\)

\( \Rightarrow \,\,\,\,\lambda t\,\, = \,\,\ln \,\,(5/3)\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,t\,\, = \,\,\frac{{\ln \,(5/3)}}{\lambda }\,\,\,\,\,\)

\( \Rightarrow \,\,\,\,t\,\, = \,\,\frac{{\ln \,\,(5/3)}}{{\ln 2}}\,\, \times \,\,{T_{1/2}}\)

\(=\,\,\frac{{\log \,\,(5/3)}}{{\log 2}}\,\, \times \,\,5730\,\,y\,\,\,\,\left( {as\,\,{T_{1/2}} = \,\,\frac{{\ln \,2}}{\lambda }} \right)\)

\(\therefore\) \(t\,\, = \,\,\frac{{0.2219}}{{0.3010}}\,\, \times \,\,5730\,\,y\,\, = \,\,4224\,\,year\)