MCQ
જો $a = \cos \,\theta + i\,\sin \,\theta $ તો $\frac{{1 + a}}{{1 - a}} = $
- A$\cot \theta $
- B$\cot \frac{\theta }{2}$
- ✓$i\,\cot \frac{\theta }{2}$
- D$i\,\tan \frac{\theta }{2}$
✓
Answer
Correct option: C.
$i\,\cot \frac{\theta }{2}$
(c) $a = \cos \theta + i\sin \theta .$
$\frac{{1 + a}}{{1 - a}} = \frac{{(1 + \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) - i\sin \theta }}.\,$
Rationalization of denominator, we get $\frac{{1 + a}}{{1 - a}} = \frac{{(1 + \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) - i\,\sin \theta }} \times \frac{{(1 - \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) + i\sin \theta }}$
$ = \frac{{(1 + \cos \theta )\,(1 - \cos \theta ) + (1 + \cos \theta )\,i\sin \theta + (1 - \cos \theta )i\sin \theta + {i^2}{{\sin }^2}\theta }}{{{{(1 - \cos \theta )}^2} - {{(i\sin \theta )}^2}}}$
$ = \frac{{1 - ({{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta ) + 2i\sin \theta }}{{1 + ({{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta ) - 2\,\cos \theta }}$$ = \frac{{2i\sin \theta }}{{2(1 - \cos \theta )}}$
$ = \frac{{i.2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}}}$$ = i\frac{{\cos \frac{\theta }{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}} = i\cot \frac{\theta }{2}$.
$\frac{{1 + a}}{{1 - a}} = \frac{{(1 + \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) - i\sin \theta }}.\,$
Rationalization of denominator, we get $\frac{{1 + a}}{{1 - a}} = \frac{{(1 + \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) - i\,\sin \theta }} \times \frac{{(1 - \cos \theta ) + i\sin \theta }}{{(1 - \cos \theta ) + i\sin \theta }}$
$ = \frac{{(1 + \cos \theta )\,(1 - \cos \theta ) + (1 + \cos \theta )\,i\sin \theta + (1 - \cos \theta )i\sin \theta + {i^2}{{\sin }^2}\theta }}{{{{(1 - \cos \theta )}^2} - {{(i\sin \theta )}^2}}}$
$ = \frac{{1 - ({{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta ) + 2i\sin \theta }}{{1 + ({{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta ) - 2\,\cos \theta }}$$ = \frac{{2i\sin \theta }}{{2(1 - \cos \theta )}}$
$ = \frac{{i.2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}}}$$ = i\frac{{\cos \frac{\theta }{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}} = i\cot \frac{\theta }{2}$.
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
આકૃતિમાં દર્શાવેલ છાયાંકિત વિસ્તારનો ઉકેલ ગણ $\ldots . . . .$ છે.
→અંક $2, 3, 7, 0, 8, 6$ નો એક જ વાર ઉપયોગ કરીને $99$ અને $1000$ ની વચ્ચેની કુલ સંખ્યાઓ......રચી શકાય.
→જો $p \Rightarrow \left[ {\left( {\sim p} \right) \vee q} \right]$ અસત્ય હોય, તો $p$ અને $q$ ની સત્યાર્થતા $.......$ અને $........$ છે.
→જો $L=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$ અને $M=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right),$ હોય તો
→If $k = \sin \frac{\pi }{{18}}\,.\,\sin \frac{{5\pi }}{{18}}\,.\,\sin \frac{{7\pi }}{{18}},$ then the numerical value of $k$ is
→$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{{\left( {1 + \left\{ x \right\}} \right)}^{\frac{1}{{\left\{ x \right\}}}}} - \frac{e}{{\sqrt {{e^{\left\{ x \right\}}}} }}}}{{1 - \cos \left\{ x \right\}}}$ =
→(જ્યાં {.} એ અપૂર્ણાક ભાગ વિધેય છે)
$'ALLAHABAD' $ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય ?
→અહી $10$ ઈજનેરી કોલેજો અને પાંચ વિધ્યાર્થીઓ $A, B, C, D, E$ છે આમાંથી દરેક વિધ્યાર્થીઓને આ બધી $10$ કોલેજ માંથી ઓફર લેટર મળે છે દરેક વિધ્યાર્થી સ્વત્રંતપણે એક કોલેજ પસંદ કરે છે બધા વિધ્યાર્થીઓ ભિન્ન કોલેજોમાં એડમિશન લે તેની સંભાવના $\frac {a}{b}$ ,જ્યાં $a$ અને $b$ એ સહ-અવિભાજય સંખ્યા છે, હોય તો $a + b$ ની કિમત મેળવો
→આપેલ પૈકી ક્યૂ સત્ય છે ?
સમીકરણ $\sqrt{x^2-4 x+3}+\sqrt{x^2-9}=\sqrt{4 x^2-14 x+6}$ નાં વાસ્તવિક બીજોની સંખ્યા $.........$ છે.
→