मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right]$हो तो सत्यापित कीजिए कि $(A^{-1})^{-1 }= A$
Miscellaneous Exercise-8(2)
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दिया है, $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right]$
$\Rightarrow |A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right|$
$= 1(15 - 1) - (- 2)(- 10 - 1) + 1(- 2 - 3) = 14 - 22 - 5 = - 13 \neq 0$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं,
$A_{11} = 15 - 1 = 14, A_{12} = -(-10 - 1) = 11, A_{13} = -2 - 3 = -5,$
$A_{21} = -(-10 - 1) = 11, A_{22} = 5 - 1 = 4, A_{23} = -(1 + 2) = -3$
$A_{31 }= (- 2 - 3) = - 5, A_{32 }= - (1 + 2) = - 3, A_{33 }= 3 - 4 = - 1$
$adj (A) =\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]^{T}$ = $\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]$
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-13}$ $\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} -\frac{14}{13} & -\frac{11}{13} & \frac{5}{13} \\ -\frac{11}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{3}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{array}\right]$
$|A^{-1}| = - \frac{14}{13}$ (-$\frac{4}{169}$ - $\frac{9}{169}$) + $ \frac{11}{13}$(- $\frac{11}{169}$ - $\frac{15}{169}$) + $\frac{5}{13}$ (- $ \frac{33}{169}$ + $ \frac{20}{169}$)
$= - \frac{14}{13}$ (- $ \frac{13}{169}$) + $\frac{11}{13}$ (- $\frac{26}{169}$) + $\frac{5}{13}$ (- $\frac{13}{169}$)
$= \frac{14}{169} - \frac{22}{169} - \frac{5}{169} = - \frac{13}{169} = - \frac{1}{13}$
तथा $adj\ (A^{-1}) = \frac{1}{13}$$ \left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{array}\right]$
$\therefore (A^{-1})^{-1 }= \frac{1}{\left|A^{-1}\right|} (adj\ A^{-1})= \frac{1}{-\frac{1}{13}}$ $\times$ $\frac{1}{13}$ $\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right] = A$
$\Rightarrow |A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right|$
$= 1(15 - 1) - (- 2)(- 10 - 1) + 1(- 2 - 3) = 14 - 22 - 5 = - 13 \neq 0$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं,
$A_{11} = 15 - 1 = 14, A_{12} = -(-10 - 1) = 11, A_{13} = -2 - 3 = -5,$
$A_{21} = -(-10 - 1) = 11, A_{22} = 5 - 1 = 4, A_{23} = -(1 + 2) = -3$
$A_{31 }= (- 2 - 3) = - 5, A_{32 }= - (1 + 2) = - 3, A_{33 }= 3 - 4 = - 1$
$adj (A) =\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]^{T}$ = $\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]$
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-13}$ $\left[\begin{array}{ccc} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{rrr} -\frac{14}{13} & -\frac{11}{13} & \frac{5}{13} \\ -\frac{11}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{3}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{array}\right]$
$|A^{-1}| = - \frac{14}{13}$ (-$\frac{4}{169}$ - $\frac{9}{169}$) + $ \frac{11}{13}$(- $\frac{11}{169}$ - $\frac{15}{169}$) + $\frac{5}{13}$ (- $ \frac{33}{169}$ + $ \frac{20}{169}$)
$= - \frac{14}{13}$ (- $ \frac{13}{169}$) + $\frac{11}{13}$ (- $\frac{26}{169}$) + $\frac{5}{13}$ (- $\frac{13}{169}$)
$= \frac{14}{169} - \frac{22}{169} - \frac{5}{169} = - \frac{13}{169} = - \frac{1}{13}$
तथा $adj\ (A^{-1}) = \frac{1}{13}$$ \left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{array}\right]$
$\therefore (A^{-1})^{-1 }= \frac{1}{\left|A^{-1}\right|} (adj\ A^{-1})= \frac{1}{-\frac{1}{13}}$ $\times$ $\frac{1}{13}$ $\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right] = A$
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