आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]$
Exercise-4.4-11
Download our app for free and get started
माना $A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]$
$\therefore |A| = \left|\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right| = 1 (- \cos^{2 }\alpha - \sin^{2 }\alpha)$
$= - (\cos ^{2 }\alpha + \sin^{2 }\alpha) = - 1 (\because \cos^{2 }\theta + \sin^2 \theta = 1)$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= -\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha= -1, A_{12 }= - (0 - 0) = 0, A_{13 }= 0 - 0 = 0$
$A_{21 }= - (0 - 0) = 0, A_{22 }= - \cos \alpha - 0 = - \cos \alpha,$
$A_{23 }= - (\sin \alpha - 0) = - \sin \alpha$
$A_{31 }= 0 - 0 = 0, A_{32 }= - (\sin \alpha - 0) = - \sin \alpha, A_{33 }= \cos \alpha 0 = \cos \alpha$
$\therefore adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$
अब $A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]$
$\therefore |A| = \left|\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right| = 1 (- \cos^{2 }\alpha - \sin^{2 }\alpha)$
$= - (\cos ^{2 }\alpha + \sin^{2 }\alpha) = - 1 (\because \cos^{2 }\theta + \sin^2 \theta = 1)$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= -\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha= -1, A_{12 }= - (0 - 0) = 0, A_{13 }= 0 - 0 = 0$
$A_{21 }= - (0 - 0) = 0, A_{22 }= - \cos \alpha - 0 = - \cos \alpha,$
$A_{23 }= - (\sin \alpha - 0) = - \sin \alpha$
$A_{31 }= 0 - 0 = 0, A_{32 }= - (\sin \alpha - 0) = - \sin \alpha, A_{33 }= \cos \alpha 0 = \cos \alpha$
$\therefore adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$
अब $A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए: $2x + 3y + 3z = 5, x - 2y + z = - 4 , 3x - y - 2z = 3$View Solution
- 2यदि $A^{-1 }= \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right] ,$ हो तो $AB)^{-1 }$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right]$View Solution
- 4समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।View Solution
$x - y + 2z = 7$
$3x + 4y - 5z = - 5$
$2x - y + 3z = 12$ - 5यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिकView Solution
$ \Delta$ = $ \left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|= 0$ हो तो दर्शाइए कि या तो $a + b + c = 0$ या $a = b = c$ है। - 6आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right]$View Solution
- 7निम्नलिखित समीकरण निकायView Solution
$3x - 2y + 3z = 8$
$2x + y - z = 1$
$4x - 3y + 2z = 4 $
को आव्यूह विधि से हल कीजिए। - 8दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए:View Solution
$3x - y - 2z = 2$
$2y - z = - 1$
$3x - 5y = 3$ - 9आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]$View Solution
- 10यदि $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$, तो सत्यापित कीजिए कि $\ce{A^{3 }- 6A^{2 }+ 9A - 4I = O}$ है तथा इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।View Solution