समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
$x - y + 2z = 7$
$3x + 4y - 5z = - 5$
$2x - y + 3z = 12$
$x - y + 2z = 7$
$3x + 4y - 5z = - 5$
$2x - y + 3z = 12$
Exercise-4.5-14
Download our app for free and get started
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न रूप में लिख सकते हैं $AX = B,$ जहाँ
$A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{c}7 \\ -5 \\ 12\end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right|$
$= 1(12 - 5) - (- 1)(9 + 10) + 2(- 3 - 8)$
$= 7 + 19 - 22 = 4 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11} = 12 - 5 = 7, A_{12 }= - (9 + 10) = - 19, A_{13 }= - 3 - 8 = - 11$
$A_{21} = - (- 3 + 2) = 1, A_{22 }= 3 - 4 = -1, A_{23 }= - (- 1 + 2) = - 1$
$A_{31 }= 5 - 8 = - 3, A_{32 }= - (- 5 - 6) = 11, A_{33 }= 4 + 3 = 7$
$adj(A) =\left[\begin{array}{rrr} 7 & -19 & -11 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 11 & 7 \end{array}\right]^{T}$
$= \left[\begin{array}{rrr} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right]$
$\therefore A-1 = \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{4} \left[\begin{array}{rrr} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1 }B$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 12 \end{array}\right]$
$= \frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} 49-5-36 \\ -133+5+132 \\ -77+5+84 \end{array}\right]$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{4} \left[\begin{array}{l} 8 \\ 4 \\ 12 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]$
अतः $x = 2, y = 1$ तथा $z = 3$
$A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{c}7 \\ -5 \\ 12\end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right|$
$= 1(12 - 5) - (- 1)(9 + 10) + 2(- 3 - 8)$
$= 7 + 19 - 22 = 4 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11} = 12 - 5 = 7, A_{12 }= - (9 + 10) = - 19, A_{13 }= - 3 - 8 = - 11$
$A_{21} = - (- 3 + 2) = 1, A_{22 }= 3 - 4 = -1, A_{23 }= - (- 1 + 2) = - 1$
$A_{31 }= 5 - 8 = - 3, A_{32 }= - (- 5 - 6) = 11, A_{33 }= 4 + 3 = 7$
$adj(A) =\left[\begin{array}{rrr} 7 & -19 & -11 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 11 & 7 \end{array}\right]^{T}$
$= \left[\begin{array}{rrr} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right]$
$\therefore A-1 = \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{4} \left[\begin{array}{rrr} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1 }B$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 12 \end{array}\right]$
$= \frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} 49-5-36 \\ -133+5+132 \\ -77+5+84 \end{array}\right]$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{4} \left[\begin{array}{l} 8 \\ 4 \\ 12 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]$
अतः $x = 2, y = 1$ तथा $z = 3$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$4 \ kg$ प्याज, $3 \ kg$ गेहूँ और $2 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 60$ है। $2 \ kg$ प्याज, $4 \ kg$ गेहूँ और $6\ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 90$ है। $6\ kg$ प्याज, $2 \ kg$ और $3 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 70$ है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति $\ kg$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए: $2x + 3y + 3z = 5, x - 2y + z = - 4 , 3x - y - 2z = 3$View Solution
- 3मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right]$हो तो सत्यापित कीजिए कि $(A^{-1})^{-1 }= A$View Solution
- 4आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$ के लिए दर्शाइए कि $A^{3 }- 6A^{2 }+ 5A + 11I = O$ है। इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5यदि $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ है तो $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए। $A^{-1}$ का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए। $2x - 3y + 5z = 11 , 3x + 2y - 4z = - 5 , x + y - 2z = - 3$View Solution
- 6यदि $A^{-1 }= \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right] ,$ हो तो $AB)^{-1 }$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिएView Solution
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y}+ \frac{10}{z} = 4$
$\frac{4}{x} - \frac{6}{y}+ \frac{5}{z} = 1$
$\frac{6}{x} + \frac{9}{y} - \frac{20}{z} = 2$ - 8आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right]$View Solution
- 9आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]$View Solution
- 10निम्नलिखित समीकरण निकायView Solution
$3x - 2y + 3z = 8$
$2x + y - z = 1$
$4x - 3y + 2z = 4 $
को आव्यूह विधि से हल कीजिए।